Banque de problèmes du RMT
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Banque de problèmes du RMTop7-fr |
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Trouver tous les couples de nombres naturels consécutifs, qui ne s’écrivent qu’avec deux chiffres distincts et différents de 0, dont la somme de tous les chiffres (qui permettent d’écrire les deux nombres) est 13.
- Comprendre que si un nombre appartient à un couple de jumeaux, il s’écrit avec un seul chiffre (éventuellement répété) ou deux chiffres différents (éventuellement répétés).
- Comprendre aussi que si deux nombres sont consécutifs, les nombres obtenus par les sommes des chiffres de chacun le sont aussi et, dans le cas où les nombres consécutifs sont jumeaux, alors les deux seuls chiffres qui apparaissent doivent aussi être consécutifs et le plus petit des deux doit apparaître dans les unités du premier nombre du couple.
- Déduire, alors, que pour avoir une somme de 13 dans un couple de jumeaux le premier nombre doit avoir 6 comme somme des chiffres et le second 7. (C’est le seul moyen d’obtenir 13 comme somme de deux nombres consécutifs).
- Faire la liste des deux chiffres consécutifs qui peuvent apparaître dans un nombre comme somme des chiffres, 6 (ou 7 pour celui qui le suit): 1-2, 2-3, 3-4, 6-7 (éliminer 0-1 parce que le 0 ne doit pas apparaître). Les chiffres consécutifs 4-5, 5-6 sont éliminés parce qu’avec les nombres d’un chiffre, on n’atteint pas la somme 13, alors qu’avec des nombres de deux chiffres, la somme est supérieure à 13 (17 au minimum); les chiffres consécutifs 7-8, 8-9 sont éliminés parce qu’avec des nombres d’un chiffre, on obtient déjà des sommes supérieures à 13.
- Chercher les nombres jumeaux que l’on peut obtenir pour chacun des deux couples possibles de chiffres :
1-2: 1221-1222; 2121-2122; 2211-2212
11121-11122; 11211-11212; 12111-12112; 21111-21112
111111-111112
2-3: 222-223
3-4: 33-34
6-7: 6-7
- Conclure qu’il y a 11 couples de jumeaux de somme 13
Ou: partir du couple de jumeaux d’un chiffre 6-7 et décomposer successivement le 6 et le 7 en couples de nombres consécutifs de 2 chiffres qui forment des nombres de 2, 3…, 6 chiffres.
Ou : procéder par divisions avec reste. Pour trouver le premier nombre du couple de jumeaux, diviser 6 (qui est la somme des chiffres de ce nombre) progressivement pour 1, 2, 3…, 6 et trouver de cette manière les couples de jumeaux de 1 chiffre, 2 chiffres…, 6 chiffres, par exemple :
Ou : procéder par voie algébrique, sachant que la somme des chiffres du couple de jumeaux est 13, posant z et z + 1 les deux chiffres consécutifs qui apparaissent dans le couple, établir une équation paramétrique : si l’écriture des deux nombres utilise n fois z et m fois (z + 1), on a : n z + m (z + 1) = 13, pour arriver à (n + m) z = 13 – m et discuter les solutions pour 0 < n + m < 13 avec n + m pair (parce que le nombre total des chiffres de deux nombres consécutifs n’utilisant pas le 0 est pair) :
numération, chiffres et nombres, combinatoire
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 8 | 314 (53%) | 116 (20%) | 101 (17%) | 36 (6%) | 22 (4%) | 589 | 0.87 |
| Cat 9 | 76 (50%) | 26 (17%) | 26 (17%) | 15 (10%) | 8 (5%) | 151 | 1.03 |
| Cat 10 | 33 (40%) | 18 (22%) | 18 (22%) | 6 (7%) | 8 (10%) | 83 | 1.25 |
| Total | 423 (51%) | 160 (19%) | 145 (18%) | 57 (7%) | 38 (5%) | 823 | 0.94 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
A voir l’analyse de la tâche et la complexité de son inventaire, on comprend que les moyennes de points soient si basses.
L’analyse de copies d’élèves permettrait-elle d’en tirer des exploitations didactiques ?
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