Banque de problèmes du RMT
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Décomposer 49 en une somme composée d’un minimum de termes 3, 4 et 5, chacun des trois figurant au moins une fois ; dans un contexte de remplissage d’un bassin avec des seaux d’eau.
- Passer de la situation et de ses contraintes physiques (avec des seaux « pleins à ras bord » de trois contenances différentes de 3, 4 et 5 litres, en supposant que le bassin doit être rempli « exactement » sans gaspiller d’eau1 au problème numérique : obtenir 49 comme somme d’un minimum de termes 3, 4 ou 5 dont chacun doit apparaître au moins une fois.
- Savoir que, pour une somme donnée, le nombre de termes dépend de leur valeur et que, dans ce cas pour obtenir le minimum de termes il faudra utiliser le(s) terme(s) le(s) plus grand(s), le plus souvent possible.
- Procéder par essais organisés en cherchant en partant d’un maximum de termes 5 :
- Comprendre, selon la demande d’explication « indiquez le nombre de seaux de chaque type qu’il pourrait utiliser pour remplir le bassin » qu’il faut encore envisager d’autres essais qui aboutiraient aussi à 11 termes ou 11 voyages2 :
Ou, en commençant par les trois diftermes : 3, 4 et 5 (dont la somme est 12), chercher à décomposer 37 (49 - 12) avec un minimum de termes.
En procédant par essais non organisés on peut aussi arriver à une solution deux possibilités optimales.
1. Il faut admettre que « remplir le bassin avec 49 litres d’eau » peut être interprété au sens strict (sans aucun débordement) ou dans un sens plus large (contenant 49 litres après remplissage).
2. ((C’est le conditionnel utilisé dans le complément de la demande d’explication qui incite la recherche d’autres solutions, alors « 11 » répond parfaitement à la question du problème « Combien de voyages, au minimum, Charles devra-t-il faire ? ».))
nombre naturel, décomposition additive, addition, somme, multiplication, produit, minimum
Points attribués, sur 1564 classes de 15 sections
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 130 (17%) | 288 (37%) | 282 (36%) | 44 (6%) | 32 (4%) | 776 | 1.43 |
| Cat 6 | 203 (17%) | 440 (36%) | 498 (41%) | 53 (4%) | 12 (1%) | 1206 | 1.36 |
| Total | 333 (17%) | 728 (37%) | 780 (39%) | 97 (5%) | 44 (2%) | 1982 | 1.39 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Il faut remarquer que, selon ces critères, plus de 80% des copies répondent correctement à la question posée : « Combien de voyages, au minimum, Charles devra-t-il faire ? » par « 11 voyages ». Une très faible minorité (2%) font état d’une deuxième possibilité suggérée par l’usage du conditionnel dans la demande d’explication.
La moyenne des points attribués - 1,4 sur 4 - pourrait faire penser que le problème est difficile. Elle doit par conséquent cependant être relativisée : le problème est « bien réussi » si on ne tient compte que de la question et non des compléments de la demande d’explications.
Une grande majorité des groupes découvrent les 11 voyages, dont 7 avec le seau de 5 litres.
Il y a de nombreuses manières d’y arriver ou de justifier cette réponse :
Pour arriver à cette réponses, presque tous élèves sont bien conscients qu’il faut utiliser le plus grand des seaux afin de minimiser le nombre de voyages, mais ils ne l’explicitent que rarement.
Les écritures sont très souvent maladroites, avec l’usage abusif du signe « = » écrit pour signifier le résultat d’une opération effectuée de gauche à droite, suivie directement de la suivante, plutôt qu’une égalité entre deux membres, du genre : en faisant ce calcul 7 × 5 = 35 + 2 × 4 = 8 + 2 × 3 = 6.
Les calculs sont présentés soit en ligne ou en colonne, ils paraissent souvent en désordre pour le lecteur de la copie mais on sent bien qu’ils sont clairs du point de vue leurs auteurs, qui distinguent les nombres qui représentent les « voyages » de ceux qui représenent les contenances, en litres qu’ils viennent d’écrire.
L’écriture « correcte » qui synthétise les opérations et qui sert de vérification : 7 × 5 + 2 × 4 + 2 × 3 = 49 (avec ou sans parenthèses), n’apparaît que très rarement.
Une procédure à apprécier, qui prend certaines libertés avec les règles mais aboutit à la réponse correcte :
On compte environ un quart de réponses différentes de « 11 voyages » ; le plus souvent « 12 voyages » avec les indications correspondantes : 5 × 4 + 4 × 5 + 3 × 3 = 49 ou 20 + 20 + 9 = 49, qui n’ont pas utilisé le maximum de seaux de 5 litres.
Quelques réponses regroupent un seau de chaque type pour obtenir un total de 12 litres (5 + 4 + 3 = 12) répétés quatre fois - et comptés chaque fois pour un seul voyage - pour obtenir 48 litres et un seau supplémentaire pour arriver à 49 dont une partie du contenu sera utilisée. Avec la confusion entre « voyages » et « seaux » la réponse est alors « 5 voyages ». Et il y a aussi quelques solutions qui n’utilisent que deux types de seaux.
Pour reprendre ce problème et l’exploiter en classe, il faut évidemment corriger les ambiguités mentionnées précédemment :
- en complétant la première phrase, par exemple : « Charles désire remplir le bassin de son jardin qui contient exactement 49 litres d’eau, sans le faire déborder »
- en modifiant la question pour y faire apparaître l’éventualité de plusieurs solutions, par exemple : « Combien de voyages, au minimum, et avec quels seaux, Charles pourra-t-il faire ?
Au travers de ce problème simple on peut comparer les écritures additives et multiplicatives et s’intéresser au passage de l’une à l’autre, en référence à la distributivité de la multiplication sur l’addition.
C’est évidemment l’occasion d’améliorer la rigueur des écritures d’opérations successives et de rendre attentif à l’usage abusif du signe =.
C’est aussi l’occasion de montrer l’intérêt d’une organisation des essais permettant d’être certain qu’il y a deux et seulement deux décompositions de 49 en un minimum de termes 3, 4 et 5 où chacun apparaît au moins une fois.
(c) ARMT, 2016-2024