Les pièces de monnaie

Identification

Rallye: 24.I.11 ; catégories: 5, 6, 7, 8 ; domaines: OPN, AL
Familles:

• ADD - Rechercher une somme ou une différence de nombres
• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• ECH - Effectuer des échanges
• MEQ - Etablir puis résoudre des (in)équations
• MEQ/EQL - Résoudre un système d’équations linéaires

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Résumé

Trouver une somme composée de 20 pièces de 1 euro et de 2 euros qui augmenterait de 4 euros si l'on échangeait les pièces de 1 euro par des pièces de 2 euros et vice-versa.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- S’approprier la situation : comprendre que le nombre total de pièces, de 1 € et de 2 €, est 20 : qu’elles représente une certaine valeur encore inconnue, que cette valeur augmentera de 4 € si on échange la valeur de chaque pièce de 1 à 2 et de 2 à 1 (en €) et qu’il s’agira de déterminer le nombre de pièces de chaque type avant de calculer.

- Passer aux relations arithmétiques correspondantes en respectant les contraintes pour trouver chaque fois la valeur totale (multiplications par 1 ou par 2 et additions), puis addition de 4 pour passer de la première à la deuxième somme et finalement vérifier si ces sommes se retrouvent en échangeant les pièces.

- Procéder par essais : si par exemple on choisit un nombre de pièces de 1 €, (7) il faut calculer le nombre de pièces de 2 € par différence du premier et de 20, (20 – 7 = 13) puis calculer la somme dans le premier cas (7 × 1) + (13 × 2) = 33, puis la somme en intervertissant le nombre de pièces (13 × 1) + (7 × 2) = 27, puis comparer les deux sommes et vérifier que la seconde vaut 4 de plus que la première (33 – 27 = 6, à rejeter).

La solution apparaît avec l’essai de 12 pièces de 1 € et 8 pièces de 2 € (12 × 1) + (8 × 2) = 28 et (8 ×  1) + (12 × 2) =  32 = 28 + 4.

Pour limiter les essais on peut se rendre compte par exemple, au cours des premières tentatives, qu’il doit y avoir plus de pièces de 1 € que de 2 € pour que la somme augmente.

- Se convaincre que d’autres essais sont inutiles en les organisant progressivement et en constatant que l’écart entre les deux valeurs augmente de régulièrement (de 2 €) lorsqu’on augmente de 1 le nombre hypothétique de pièces de 1 € (et que l’on diminue par conséquent le nombre de pièces de 2€.

- Rédiger la réponse : Julie a 8 x 2 + 12 x 1 = 28 €.

Ou, par un raisonnement générique (qui évite les essais) se rendre compte que, chaque fois que l’on remplace une pièce de 1 € par une pièce de 2 € on gagne 1 € sur la somme totale. On peut alors en déduire que le gain de 4 € sera dû au remplacement de quatre pièces de 1 € par quatre pièces de 2 €, et qu’il y a 4 pièces de 1 € de plus que de pièces de 2 €. Les 16 autres pièces se répartissent donc en 8 pièces de 1 € et 8 pièces de 2 €, dont l’échange ne modifie pas l’avoir de Julie.

Notions mathématiques

nombre naturel, addition, somme, multiplication, produit, substitution, équation, logique

Résultats

24e rallye

Points attribués, sur 2982 classes de 15 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse juste (28 euros) avec une description de la démarche suivie (en cas de procédure par essais organisés, la liste des essais doit faire apparaître qu’il n’était pas nécessaire d’en faire d’autres après pour obtenir une autre solution)
• 3 points: Réponse juste (28 euros) avec description de la démarche peu claire ou liste des essais non organisée ne permettant pas de comprendre que la solution est unique,
  ou avec une vérification seulement
  ou réponse (12 pièces de 1 € et 8 pièces de 2€) sans le calcul des 28 euros, avec description de la démarche (v. 4)
• 2 points: Réponse juste, (28 euros) sans explication
  ou réponse (12 pièces de 1 € et 8 pièces de 2€), sans description de la démarche ou avec une vérification seulement
• 1 point: Réponse fausse, mais avec quelques essais qui n’ont pas abouti à la solution
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Une premier examen rapide de copies montre que les solutions correctes sont trouvées après de nombreux essais et que c’est l’organisation rigoureuse de ceux-ci qui permet d’obtenir les 28 euros.