Banque de problèmes du RMT
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Trouver une somme composée de 20 pièces de 1 euro et de 2 euros qui augmenterait de 4 euros si l'on échangeait les pièces de 1 euro par des pièces de 2 euros et vice-versa.
- S’approprier la situation : comprendre que le nombre total de pièces, de 1 € et de 2 €, est 20 : qu’elles représente une certaine valeur encore inconnue, que cette valeur augmentera de 4 € si on échange la valeur de chaque pièce de 1 à 2 et de 2 à 1 (en €) et qu’il s’agira de déterminer le nombre de pièces de chaque type avant de calculer.
- Passer aux relations arithmétiques correspondantes en respectant les contraintes pour trouver chaque fois la valeur totale (multiplications par 1 ou par 2 et additions), puis addition de 4 pour passer de la première à la deuxième somme et finalement vérifier si ces sommes se retrouvent en échangeant les pièces.
- Procéder par essais : si par exemple on choisit un nombre de pièces de 1 €, (7) il faut calculer le nombre de pièces de 2 € par différence du premier et de 20, (20 – 7 = 13) puis calculer la somme dans le premier cas (7 × 1) + (13 × 2) = 33, puis la somme en intervertissant le nombre de pièces (13 × 1) + (7 × 2) = 27, puis comparer les deux sommes et vérifier que la seconde vaut 4 de plus que la première (33 – 27 = 6, à rejeter).
La solution apparaît avec l’essai de 12 pièces de 1 € et 8 pièces de 2 € (12 × 1) + (8 × 2) = 28 et (8 × 1) + (12 × 2) = 32 = 28 + 4.
Pour limiter les essais on peut se rendre compte par exemple, au cours des premières tentatives, qu’il doit y avoir plus de pièces de 1 € que de 2 € pour que la somme augmente.
- Se convaincre que d’autres essais sont inutiles en les organisant progressivement et en constatant que l’écart entre les deux valeurs augmente de régulièrement (de 2 €) lorsqu’on augmente de 1 le nombre hypothétique de pièces de 1 € (et que l’on diminue par conséquent le nombre de pièces de 2€.
- Rédiger la réponse : Julie a 8 x 2 + 12 x 1 = 28 €.
Ou, par un raisonnement générique (qui évite les essais) se rendre compte que, chaque fois que l’on remplace une pièce de 1 € par une pièce de 2 € on gagne 1 € sur la somme totale. On peut alors en déduire que le gain de 4 € sera dû au remplacement de quatre pièces de 1 € par quatre pièces de 2 €, et qu’il y a 4 pièces de 1 € de plus que de pièces de 2 €. Les 16 autres pièces se répartissent donc en 8 pièces de 1 € et 8 pièces de 2 €, dont l’échange ne modifie pas l’avoir de Julie.
nombre naturel, addition, somme, multiplication, produit, substitution, équation, logique
Points attribués, sur 2982 classes de 15 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 243 (43%) | 96 (17%) | 110 (19%) | 92 (16%) | 26 (5%) | 567 | 1.23 |
| Cat 6 | 347 (36%) | 163 (17%) | 193 (20%) | 209 (22%) | 40 (4%) | 952 | 1.4 |
| Cat 7 | 192 (23%) | 118 (14%) | 235 (28%) | 220 (26%) | 71 (8%) | 836 | 1.83 |
| Cat 8 | 56 (9%) | 52 (8%) | 196 (31%) | 217 (35%) | 106 (17%) | 627 | 2.42 |
| Total | 838 (28%) | 429 (14%) | 734 (25%) | 738 (25%) | 243 (8%) | 2982 | 1.7 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Une premier examen rapide de copies montre que les solutions correctes sont trouvées après de nombreux essais et que c’est l’organisation rigoureuse de ceux-ci qui permet d’obtenir les 28 euros.
(c) ARMT, 2016-2025