Banca di problemi del RMT
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Banca di problemi del RMTop72-it |
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Trovare una somma in denaro composta da 20 pezzi da 1 euro e da 2 euro che aumenterebbe di 4 euro se si scambiassero i pezzi da 1 euro con i pezzi da 2 euro e viceversa.
- Appropriarsi della situazione: comprendere che il numero totale delle monete, da 1 € e da 2 €, è 20; che esse rappresentano un certo valore ancora sconosciuto; che questo valore aumenterà di 4 € se si scambia il valore di ciascuna moneta da 1 a 2 e da 2 a 1 (in €) e che si tratterà di determinare il numero delle monete di ogni tipo prima di calcolare.
- Passare alle relazioni aritmetiche corrispondenti, rispettando i vincoli, per trovare ogni volta il valore totale (moltiplicazioni per 1 o per 2 e addizioni), poi addizionare 4 per passare dalla prima alla seconda somma e infine controllare se queste somme si ritrovano scambiando le monete.
- Procedere per tentativi: se per esempio si sceglie un numero di monete da 1 € (7), bisogna calcolare il numero di monete da 2 € per differenza di questo numero da 20 (20 – 7 = 13), poi calcolare la somma nel primo caso ((7 × 1) + (13 × 2) = 33), quindi la somma che si ottiene invertendo il numero delle monete ((13 × 1) + (7 × 2) = 27), poi confrontare le due somme e infine controllare se la seconda somma supera di 4 la prima (in questo caso non è così e occorre ritentare).
Si arriverà alla soluzione con la scelta di 12 monete da 1 € e 8 monete da 2 €: (12×1) + (8×2) = 28 e (8 × 1) + (12 × 2) = 32 = 28 + 4.
- Convincersi che sono inutili altri tentativi organizzandoli progressivamente e costatando che lo scarto tra le due somme aumenta costantemente (di 2 €) quando aumenta di 1 il numero ipotetico delle monete da 1 € (e diminuisce di conseguenza il numero delle monete da 2 €).
- Scrivere la risposta: Giulia ha 8 × 2 + 12 × 1 = 28 €.
- Oppure, per evitare i tentativi, rendersi conto ragionando che, ogni volta che si sostituisce una moneta da 1 € con una moneta da 2 €, si guadagna un euro sulla somma totale. Si può allora dedurre che per guadagnare 4 euro occorre rimpiazzare quattro monete da 1 € con quattro monete da 2 €, e che quindi le monete da 1 € sono 4 in più di quelle da 2 €. Tolte allora le 4 monete in più, le 16 rimaste si ripartiscono in parti uguali, 8 monete da 1 € e 8 monete da 2 €, cosicché lo scambio non modifichi la somma.
numero naturale, addizione, somma, moltiplicazione, prodotto, sostituzione, equazione, logica
Punteggi attribuiti su 2982 elaborati di 15 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 243 (43%) | 96 (17%) | 110 (19%) | 92 (16%) | 26 (5%) | 567 | 1.23 |
| Cat 6 | 347 (36%) | 163 (17%) | 193 (20%) | 209 (22%) | 40 (4%) | 952 | 1.4 |
| Cat 7 | 192 (23%) | 118 (14%) | 235 (28%) | 220 (26%) | 71 (8%) | 836 | 1.83 |
| Cat 8 | 56 (9%) | 52 (8%) | 196 (31%) | 217 (35%) | 106 (17%) | 627 | 2.42 |
| Totale | 838 (28%) | 429 (14%) | 734 (25%) | 738 (25%) | 243 (8%) | 2982 | 1.7 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
L’esame degli elaborati con punteggio 0 o 1 (58% in cat. 5; 51% in cat. 6; 39% in cat.7) mostra che, nella fase di appropriazione del problema, le principali difficoltà incontrate dagli allievi riguardano, in primo luogo, la comprensione della frase sugli “scambi” tra le monete, ma anche la necessità di tenere sotto controllo contemporaneamente più informazioni. Si nota però un deciso miglioramento in cat. 8 in cui la percentuale degli elaborati con punteggio 0 e 1 scende al 20%.
Il numero estremamente basso di elaborati in bianco in ciascuna categoria fa ritenere che il problema sia stato comunque motivante per gli allievi. Le procedure errate riscontrate più frequentemente sono le seguenti:
- confusione fra valore in euro e numero di monete (per esempio, si aggiungono o tolgono 4 euro a 20 monete e si trova espresso il risultato alcune volte in monete, altre volte in euro);
- si perde la condizione “4 euro in più” (si fa solo la sostituzione su un'opportuna suddivisione delle monete, senza confrontare le somme ottenute);
- si perde la condizione sul numero totale 20 di monete (si hanno soluzioni del tipo “8 monete da 2 euro e 4 monete da 1 euro” o “11 monete da 1 euro e 7 da 2 euro”, in cui nello scambio tra monete si ottiene uno scarto di 4 euro nelle somme ottenute, ma il numero totale delle monete non è 20);
- non si interpreta l'espressione “4 euro in più” come differenza tra le somme ottenute con lo scambio fra monete (questo tipo errore potrebbe dipendere da un concetto di differenza non ben strutturato, ma anche dalla pratica, spesso fuorviante, di affidarsi alla presenza nel testo delle cosiddette “parole chiave”).
L’analisi degli elaborati con punteggio da 2 a 4 mostra che gli allievi hanno compreso e risolto il problema, anche se la modalità di attribuzione dei punteggi ha penalizzato alcune volte la valutazione degli elaborati. Questo è accaduto nel caso dei 4 punti, in cui si chiede di giustificare l’unicità della soluzione, richiesta in genere non riconosciuta dagli allievi e non associata alla frase “Spiegate come avete trovato la vostra risposta”, sia nei casi dei 2 o 3 punti, per la difficoltà da parte dei correttori di interpretare univocamente le indicazioni fornite nella tabella dei punteggi (cfr. articolo in Bibliografia).
La procedura corretta più utilizzata è quella per tentativi, non necessariamente organizzati. Si procede di solito con la scomposizione del 20 come somma di due addendi. Le modalità sono differenti: nella maggior parte dei casi si parte suddividendo le 20 monete in 10 monete da 1 euro e 10 monete da 2 euro, si procede poi spostando le monete da un gruppo all'altro; in alcuni elaborati si intuisce che le monete da 2 euro devono essere meno di quelle da 1 euro, e questo porta, spesso, a cominciare dalla suddivisione 11-9; in altri casi, a partire dalla suddivisione 10-10, si tolgono subito 2 monete da 2 euro e si sostituiscono con 4 da un euro, ottenendo così 12 monete da 1 euro e 8 monete da 2 euro. Molti sono gli elaborati in cui si indica la corretta suddivisione 12-8 delle monete, senza alcuna motivazione.
Nei casi in cui i tentativi sono organizzati si arriva a mostrare l’unicità della soluzione. Nelle categorie 5 e 6, sono pochi gli elaborati in cui la ricerca per tentativi è condotta in modo sistematico (19/1, 18/2, ...), mentre aumentano nelle categorie superiori, soprattutto in cat 8, dove si fa ricorso con una certa frequenza a tabelle o a rappresentazioni delle 20 monete con l’indicazione del loro valore prima e dopo lo scambio che evidenziano una corretta appropriazione del problema. In cat. 8 si nota anche una maggiore capacità di ragionare sulla situazione prima di fare tentativi.
Una procedura originale, presente in cat. 8, è basata su una regolarità di suddivisione delle 20 monete in 4 gruppi da 5 monete, 1 €, 1 €, 1 €, 2 €, 2 €: scambiando il valore delle monete in un tale gruppo si ha un incremento di 1 €, ripetendo 4 volte la procedura si trovano quante sono le monete totali di ciascuno dei due tipi e quindi il loro valore complessivo.
In un elaborato di cat. 8 è utilizzata la procedura algebrica con impostazione e risoluzione di un sistema lineare di due equazioni in due incognite [a+b = 20, (2×a +1×b) − (1×a+2×b) = 4].
Poiché dall’analisi a posteriori è emerso l’uso prevalente della strategia aritmetica per tentativi, può essere interessante, nel riprendere il problema in classe, il confronto fra tentativi casuali o organizzati. Si arriva così a comprendere che i tentativi organizzati, rilevando regolarità di variazione del valore totale delle monete, mostrano chiaramente l’unicità della soluzione.
Per sollecitare un eventuale ricorso alla strategia algebrica, si potrebbe pensare, in cat. 8, ad una variante del problema in cui si modifica la variabile numerica “numero totale di monete” aumentandola di molto in modo da scoraggiare il ricorso ai tentativi e spingere verso la ricerca di una procedura più veloce ed efficace.
Si ritiene che il problema possa essere proposto anche in classi di categorie 9 e 10, seguito da un confronto ed una discussione sulle difficoltà incontrate e sulle procedure di risoluzione seguite.
Per consolidare il concetto di sistema, si potrebbe anche pensare ad una variante del problema che coinvolga 3 tipi di monete di cui sia noto il numero totale ed in cui si ipotizzino 2 “scambi", ogni volta riguardante solo due delle tre tipologie di monete, con l’indicazione delle corrispondenti “variazioni” degli importi iniziali e sempre con la richiesta di determinare il valore in euro di tutte le monete. In tale variante, la risoluzione per via algebrica conduce ad un sistema di 3 equazioni in 3 incognite.
Athias F., Falguères F., Le Moal C., Henry M., Comprendre, Expliquer et Expliciter – Comprendre un énoncé, expliquer à l’écrit une procédure, expliciter oralement une procédure (Voir Rubrique dédiée aux posters présentés à la rencontre internationale de Charleroi, Section RMT de Franche-Comté), La Gazzetta di Transalpino, n.8, 2018, pp. 162-170, http://www.armtint.org/
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