La table de division

Identification

Rallye: 20.I.18 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaines: OPR, PR
Familles:

• 4P - Rechercher la quatrième proportionnelle
• 4P/NR - Utiliser des nombres rationnels

Envoyer une remarque ou une suggestion

Résumé

Compléter une partie d’une table de division dont les 9 premières lignes et les 7 premières colonnes sont données. La partie à compléter est au-delà de la 10e ligne et de la 8e colonne. Les quotients de cette table sont donnés par des arrondissements décimaux de deux chiffres après la virgule.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- S'approprier l'objet "table de division" pour comprendre qu'elle donne tous les quotients de deux nombres naturels, que les nombres de la ligne supérieure sont les "dividendes", que ceux de la colonne de gauche sont les "diviseurs" et qu'à l'intersection d'une colonne et d'une ligne on trouve le quotient du "dividende" par le "diviseur" exprimé par un nombre décimal de deux chiffres après la virgule, dont certains sont exacts et d'autres des approximations.

- Dans la table ; vérifier éventuellement quelques quotients arrondis pour comprendre le sens de lecture et les approximations au centième près. Puis observer les régularités : 1.00 dans la « grande diagonale », 0.50 pour 1 : 2 ; 2 : 4 ; 3 : 6, … Observer que les quotients équivalents sont alignés (sur des droites qui passeraient par « l’origine » (0 ; 0) de la table).

- Déterminer à quelles lignes et colonnes de la table correspondent les lignes et colonnes de l’extrait. Par exemple :

• en continuant la table (il suffit de 2 lignes et 4 colonnes pour retrouver 0.64 ; 0.71 ; 0.79 de la 1e ligne de l’extrait),
• ou en repérant dans la dernière ligne de l’extrait 0.45 ; 0.50 ; 0.55 ; 0.60 ; … les quotients de divisions par 20,
• ou par repérage des positions des quotients 1.00, puis les 0.50, puis les 0.67, …
• ou calculer les différences entre deux nombres voisins d’une ligne, par exemple la première. x : x = 1.00 donc pour la case à droite (x +1 ) :x = 1.07 donne x +1  = 1,07x et 0,7x = 1, ainsi x ≈ 14 puis vérifier pour quelques autres quotients de la colonne 14 (14 :14 =1 ; 14 :15 = 0,93 …).

- Conclure que l’extrait du tableau commence à la ligne 14 et va jusqu’à la ligne 20, et des colonnes 9 à 15.

- Les deux écritures 0.67 sont donc les quotients arrondis de 10 par 15 et de 12 par 18. Ils représentent le même nombre : 2/3, arrondi à sa deuxième décimale.

- Les deux écritures 0.63 écrites sous les précédentes sont les arrondis des quotients de 10 par 16 et de 12 par 19. Ils ne sont donc pas égaux (10 : 16 = 0,625 et 10 : 19 = 0,631578…)

- Le 0.86 se situe dans la 12e colonne et à la 14e ligne de la table complète : c’est 12 :14 ou 6 :7 = 0,8571428571…

Notions mathématiques

division, quotient, nombres rationnels, approximations, nombres décimaux, décimale

Résultats

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Les trois réponses correctes : (oui, c’est le même nombre 2/3 ; non ce sont deux nombres différents 5/8 et 12/19 ; 0,8571428571… = 12/14 ou 6/7) avec explications claires
• 3 points: Les trois réponses correctes avec explications lacunaires ou confuses
  ou deux des trois réponses correctes avec explications
• 2 points: Les trois réponses correctes sans explications (trouvées à la calculatrice, par essais successifs)
  ou deux réponses avec explications lacunaires
  ou une seule réponse correcte mais explications claires
• 1 point: deux réponses sans explications autres que des essais
  ou une réponse avec un début d’explication qui témoigne de la découverte de régularités dans le tableau
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Le contexte d’une table de division n’est certes pas familier et peut expliquer une partie des « 0 point » (dans près de 60% des cas) mais l’examen de près de 200 copies (SR et FC) montre qu’il y a d’autres obstacles au niveau des écritures décimales de nombres rationnels, des approximations, des quotients équivalents, ...

Exploitations didactiques

Parmi les tables d'opérations, on connaît celle de multiplication dont la mémorisation des premiers produits est un objectif socialement reconnu, même s'il ne s'agit que des "livrets" souvent répétés indépendamment les uns des autres sans qu'ils soient envisagée dans le contexte de tous les couples de nombres naturels (N x N). La "table de division" n'est pas une connaissance socialement reconnue, ni souvent abordée comme matière scolaire. (En première approche, on pourrait même la considérer comme un objet rébarbatif contribuant à l'image négative que certains éprouvent pour les mathématiques).

Dans une conception constructive, la table de division est cependant un outil qui vaut la peine d'être introduit en classe et sur lequel les élèves peuvent prendre conscience des propriétés de cette opération et des difficultés que soulèvent l'introduction de nouveaux nombres, non entiers, et de leurs différentes écritures. Pour ne citer que quelques exemples:

• l'apparition de nombres naturels et leurs régularités,
• la croissance ou la décroissance des nombres dans les lignes et les colonnes,
• la disposition des nombres supérieurs et inférieurs à 1,
• le repérage des nombres égaux et leurs alignements,
• l'observation des fractions équivalentes dans ces alignements,
• la distinction des nombres décimaux (avec un nombre limité de chiffres après la virgule) et des non décimaux (avec une écriture décimale illimités mais périodique),
• la distinction entre un nombre et une de ses approximations,
• ...

On peut ensuite proposer des fragments de table à reconstituer (autres que celui de l'énoncé) ou d'autres problèmes d'identification de certains quotients faisant appel aux régularités observées précédemment.

La table de division est un instrument de travail incomparable pour la présentation de l'ensemble des nombres rationnels, sur lequel on peut passer beaucoup de temps avec profit. On peut par exemple imaginer que les élèves s'en construisent une, avec des cases assez grandes pour pouvoir contenir l'écriture fractionnaire du quotient, la fraction simplifiée, l'écrite décimale, une approximation au centième près ... Cet objet peut être abordé et adapté à tous les degrés de la scolarité dès que l'on aborde les nombres non entiers.

Voir aussi, par analogie avec la table de multiplication: Grille de nombres