La tabella della divisione

Identificazione

Rally: 20.I.18 ; categorie: 8, 9, 10 ; ambiti: OPR, PR
Famiglie:

• 4P - Quarta proporzionale
• 4P/NR - Numeri razionali

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Sunto

Completare una parte di una tabella di divisione dove le prime 9 righe e le prime 7 colonne sono date. La parte da completare è oltre la 10a riga e l’8a colonna. I quozienti di questa tabella sono dati con arrotondamenti decimali di due cifre dopo la virgola.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori

Fare eventualmente una verifica di qualche quoziente della tabella per capirne la lettura e le approssimazioni al centesimo. Osservare le regolarità: 1.00 nella diagonale grande, 0.50 per 1/ 2; 2 / 4; 3 / 6, … osservare che i quozienti equivalenti sono allineati (su rette passanti per l’origine (0,0) della tabella, anche se tale origine non appare).

Determinare a quale riga e colonna della tavola corrispondono le righe e le colonne dell’estratto.

Per esempio:

• continuando la tabella (bastano 2 righe e 4 colonne per ritrovare 0.64 , 0.71, 0.79 della prima riga dell’estratto);
• oppure ritrovando nella prima riga dell’estratto 0.45; 0.50; 0.55; 0.60; …i quozienti della divisione per 20
• o ancora considerando la posizione dei quozienti 1.00, poi gli 0.50, quindi 0.67 … ;
• oppure calcolare le differenze fra due numeri vicini di una riga, per esempio la prima x : x = 1.00; quindi per la
casella di destra (x +1) :x = 1.07 da x +1 = 1.07x e 0.7x = 1, e dunque x ≈ 14, verificare poi per qualche altro quoziente della colonna 14 (14 : 14 = 1 ; 14 : 15 = 0.93 ….).

Concludere che l’estratto della tabella ha inizio alla riga 14 e va fino alla 20, delle colonne da 9 a 15.

• Le due scritture 0.67 sono dunque i quozienti arrotondati di 10:15 e di 12:18 che rappresentano lo stesso numero:
2/3 arrotondato al secondo decimale.
• Le due scritture 0.63 riportate sotto le precedenti sono gli arrotondamenti dei quozienti di 10:16 e di 12:19. Non
sono dunque uguali (10:16 = 0,625 e 10:19 = 0,631578…).
• 0.86 si situa nella dodicesima colonna alla quattordicesima riga della tabella completa: si tratta di 12 : 14 o 6 :7 =
= 0,8571428571.. .

Nozioni matematiche

divisione, quoziente, numero razionale, approssimazione, numero decimale, decimale

Risultati

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Le tre risposte corrette: Sì, è lo stesso numero 2/3; no, sono due numeri diversi 5/8 e 12/19; 0,8571428571.. = 12/14 o 6/7 …) con spiegazioni chiare
• 3 punti: Le tre risposte corrette con spiegazioni lacunose o confuse
  oppure due delle tre risposte corrette e con spiegazione
• 2 punti: Le tre risposte corrette senza spiegazioni (trovate, per tentativi successivi, con la calcolatrice)
  oppure due risposte con spiegazioni lacunose
  oppure ancora una sola risposta corretta con spiegazioni chiare
• 1 punto: Due risposte aventi per spiegazione solo dei tentativi
  oppure una risposta con un inizio di spiegazione che provi la scoperta di regolarità della tabella
• 0 punto: Incomprensione del problema

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Il contesto di una tavola di divisione non è certamente familiare e può spiegare una parte degli “0” punti (in circa il 60% dei casi), ma l’analisi di circa 200 elaborati (SR e FC) mostra che ci sono altri ostacoli a livello delle scritture decimali di numeri razionali, delle approssimazioni, dei quozienti equivalenti, ...

Indicazioni didattiche

Tra le tavole di operazioni è nota quella della moltiplicazione la cui memorizzazione dei primi prodotti è un obiettivo socialmente riconosciuto, anche se si tratta di tabelline sovente ripetute indipendentemente le une dalle altre senza che siano considerate nel contesto di tutte le coppie di numeri naturali (N x N).

La "tavola della divisione" non è socialmente riconosciuta, né sovente introdotta in classe. (In verità potrebbe essere considerata addirittura un oggetto ingrato che contribuisce all’immagine negativa della matematica).

In una concezione costruttiva, la tavola della divisione è invece uno strumento che vale la pena di essere introdotto in classe e sul quale gli allievi possono prendere coscienza delle proprietà di questa operazione e delle difficoltà che comporta l’introduzione di nuovi numeri, non interi, e delle loro diverse scritture. Per citarne solo alcuni esempi:

• l'apparizione di numeri naturali e loro regolarità,
• la crescenza o la decrescenza dei numeri nelle righe e nelle colonne,
• la disposizione dei numeri superiori e inferiori 1,
• il reperimento dei numeri uguali e il loro allineamento,
• l'osservazione delle frazioni equivalenti in questi allineamenti,
• la distinzione dei numeri decimali (con un numero limitato di cifre dopo la virgola) e dei numeri non decimali (con una scrittura decimale illimitata ma periodica),
• la distinzione tra un numero e una delle sue approssimazioni,
• ...
Si possono poi proporre dei frammenti della tavola da ricostituire (oltre a quella dell’enunciato) oppure altri problemi di identificazione di certi quozienti che fanno appello alle regolarità osservate in precedenza.

La tavola della divisione è uno strumento di lavoro incomparabile per la presentazione dell’insieme dei numeri razionali sui quali si può passare molto tempo con profitto. Si può ad esempio immaginare che gli allievi se ne costruiscano una, con caselle piuttosto grandi in modo da contenere la scrittura frazionaria del quoziente, la frazione semplificata, la scrittura decimale, un’approssimazione a meno di un centesimo... . Questo oggetto può essere introdotto e adattato a tutti i livelli di scolarità a partire dal momento in cui si affrontano i numeri non interi.

Si veda anche, per analogia con la tabella della moltiplicazione, Griglia di numeri