Banque de problèmes du RMT
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Banque de problèmes du RMTop80-fr |
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Trouver le plus grand nombre inférieur à 30 qui peut s’écrire de cinq manières différentes sous forme de produit de deux nombres naturels, différents ou non, et calculer le complément de ce nombre à 30.
Analyse de la tâche a priori
- Vérifier éventuellement qu’il y a 8 répartitions possibles pour 30 chocolats, puis 2 répartitions pour 29, puis comprendre qu’il faut continuer à chercher combien il y a de répartitions pour 28 chocolats, puis pour 27, … jusqu’à ce qu’on trouve un nombre de chocolats permettant exactement 5 répartitions.
- Comprendre donc que, chaque fois que Zoé mange un chocolat, il faudra recommencer - avec ceux qui restent - la recherche -d’une répartition en sachets qui contiennent le même nombre de chocolats.
- Trouver que, avec 28 chocolats il y a les six répartitions (1 × 28, 2 × 14, 4 × 7, 7 × 4, 14 × 2, 28 × 1)
- Continuer de la même manière avec 27 (4 répartitions : 1 × 27, 3 × 9, 9 × 3, 27 × 1) ; 26 (4 répartitions : 1 × 26, 2 × 13, 13 × 2, 26 × 1) ; 25 (3 répartitions : 1 × 25, 5 × 5, 25 × 1) ; 24 (8 répartitions : 1 × 24, 2 × 12, 3 × 8, 4 × 6, …) ; 23 (2 répartitions : 1 × 23,…); 22 (4 répartitions : 1 × 22, 2 × 11, …) ; 21 (4 répartitions : 1 × 21, 3 × 7, …) ; 20 (6 répartitions : 1 × 20, 2 × 10, 4 × 5 …) ; 19 (2 répartitions : 1 × 19,…), 18 (6 répartitions : 1 × 18, 2 × 9, 3 × 6 …) ; 17 (2 répartitions 1 × 17,…), 16 (5 répartitions : 1 × 16, 2 × 8, 4 × 4 ; 8 × 2, 16 × 1).
- Constater que 16 est le plus grand nombre inférieur à 30 qui peut être décomposé exactement de cinq manières différentes.
- Calculer enfin que Zoé a mangé 14 chocolats : 30 – 16 = 14.
- Ou : faire des essais qui ne sont pas systématiques et qui portent sur des nombres qu’on estime a priori pouvoir satisfaire la condition.
Remarque : Dans une procédure comme dans l’autre, les élèves peuvent après plusieurs essais, constater que tout nombre est décomposable en deux produits où les facteurs sont 1 et le nombre lui-même, et donc restreindre leur recherche à des nombres qui peuvent se décomposer en 3 produits autres que ces deux.
Ou
- Toujours après plusieurs essais, les élèves peuvent constater qu’à chaque fois qu’ils décomposent le nombre en un produit de deux facteurs différents, il y a un deuxième produit avec les mêmes facteurs et donc déduire que pour que le nombre de produits soit impair, il faut que le nombre soit décomposable en un produit d’un nombre par lui-même (autrement dit que le nombre doit être un carré).
Remarque : Une procédure s’appuyant sur la connaissance d’une technique donnant le nombre de diviseurs d’un entier n, pour n inférieur à 30, n'est pas envisageable pour les catégories concernées.
nombre naturel, décomposition, factorisation, produit, multiple, diviseur
Points attribués, sur 180 classes de 17 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 12 (24%) | 10 (20%) | 3 (6%) | 7 (14%) | 17 (35%) | 49 | 2.14 |
| Cat 6 | 10 (15%) | 4 (6%) | 6 (9%) | 20 (31%) | 25 (38%) | 65 | 2.71 |
| Cat 7 | 3 (5%) | 1 (2%) | 8 (12%) | 29 (44%) | 25 (38%) | 66 | 3.09 |
| Total | 25 (14%) | 15 (8%) | 17 (9%) | 56 (31%) | 67 (37%) | 180 | 2.69 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
(c) ARMT, 2016-2024