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Carrés magiques multiplicatifs

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Rallye: 24.F.15 ; catégories: 7, 8, 9, 10 ; domaine: OPN
Familles:

Résumé

Construire des carrés magiques multiplicatifs dans lesquels la case centrale est déjà remplie, en utilsant des puissances de 2 et leurs propriétés, en respecatant des contraintes sur les exposants et sur les puissances à placer sur une deux diagonales.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Connaître les notations exponentielles, 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16, 23 = 2 × 2 × 2 = 8, 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32, … 21 = 2 et 20 = 1 ; savoir que le pruduit de plusieurs puissances de 2 est aussi une puissance, dont l’exposant est la somme des exposants de chaque facteur et que la relation entre une puissance de 2 et son douter s’exprime par unu différence de 1 entre leurs exposants.

- Placer 25 et 23 = dans une des diagonales et calculer le produit des trois puissances de cette diagonale : 25 × 24 × 23 = 212 Constater que les neuf nombres du carré magique doivent être les puissances de 2 d’exposants 0 à 8 et que, par exemple pour 28 il n’y que deux cases possible: celles qui ne sont pas dans la colonne ou la ligne de la case occupée par 25. Compléter ensuite le tableau case par case et s’apercevoir qu’il n’y a qu’une solution et 8 dispositions par rotations et symétrie:

- Construire tous les carrés magiques additifs 3 × 3 avec les nombres de 0 à 8 et avec 4 dans la case centrale. Ensuite, transformer les carrés trouvés en carrés multiplicatifs en écrivant dans chaque case la puissance de 2 ayant pour exposant le nombre qui s’y trouve.

Notions mathématiques

carré magique, puissances, multiplication

Résultats

24.F.15

Points attribués, sur 173 classes de 17 sections:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 7	26 (39%)	23 (35%)	12 (18%)	2 (3%)	3 (5%)	66	0.98
Cat 8	11 (19%)	27 (47%)	13 (22%)	0 (0%)	7 (12%)	58	1.4
Cat 9	2 (7%)	14 (50%)	10 (36%)	1 (4%)	1 (4%)	28	1.46
Cat 10	2 (10%)	11 (52%)	6 (29%)	2 (10%)	0 (0%)	21	1.38
Total	41 (24%)	75 (43%)	41 (24%)	5 (3%)	11 (6%)	173	1.25
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: Réponse correcte (les 8 carrés), sans doublon, ni erreur, avec mention de la propriété utilisée des puissances et vérification pour au moins un carré que les produits sont les mêmes dans chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale
3 points: Réponse correcte (les 8 carrés), sans doublon, ni erreur, sans vérification ni expliaction
ou 6 ou 7 carrés corrects avec vérifications pour quelques lignes, colonnes ou diagonales
2 points: 4 ou 5 complets et corrects, sans doublon, ni erreur, avec ou sans explications
ou au moins 6 carrés corrects avec la présence d’au maximum 4 doublons, sans erreur
1 point: Moins de 4 carrés corrects.
ou au moins 4 carrés corrects avec au maximum deux autres carrés incorrects et/ou au plus deux doublons
0 point: Incompréhension du problème

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