Nombres polygonaux

Identification

Rallye: 24.F.20 ; catégorie: 10 ; domaines: OPN, FN
Familles:

• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• SF - Etudier des suites de figures
• SN - Traiter une suite numérique

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Résumé

Déterminer le nombre carré et le nombre hexagonal le plus proche de 2016.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori

- Comprendre le mode de représentation et de détermination des nombres polygonaux.

- Pour les numéros carrés, on remarque immédiatement que ce sont des carrés parfaits. 1000 est situé entre 31² (= 961) et 32² (= 1024), le carré recherché a donc pour rang 32.

- Pour les nombres hexagonaux, il est possible, en observant leurs représentations, à partir du premier, de déterminer les suivants en identifiant à chaque fois le nombre de points à ajouter (on peut remarquer que ce nombre est égal à 4n-3, n étant le rang de l'hexagone).

  rang :        1   2    3         4            5              6	
  nb hexagonal: 1   6   15 = 6+9  28 = 6+9+13  45 = 6+9+13+17 66 = 6+9+13+17+21

- Pour arriver à 1000, une telle procédure est longue et sujette à des erreurs de calculs. Il est préférable de trouver une manière de déterminer le terme générique (de rang n) au moyen du calcul de la somme des premiers n termes d’une progression arithmétique à partir de 1, de raison 4. Cette somme peut s'exprimer par n(2n-1). Il faut alors déterminer la valeur de n tel que n(2n-1) soit la plus proche possible de 1000, soit par essais soit en résolvant l'équation du second degré 2n²-n = 1000.

La solution positive de l'équation est environ 22,6, donc le rang du nombre hexagonal voisin de de 1000 est 23 et le nombre hexagonal cherché est 23 × 45 = 1035.

- Si on ne connait pas la formule pour les nombres hexagonaux, on peut considérer autrement la suite des termes et chercher à les écrire sous la forme d’un produit de deux facteurs :

  rang:    1     2     3      4      5      6       7        8        9
  nb hexa: 1=1×1 6=2×3 15=3×5 28=4×7 45=5×9 66=6×11 918=7×13 120=8×15 163=9×17

On peut remarquer que chaque nombre apparait comme le produit du rang du terme par un facteur qui est le double de ce rang diminué de 1 ou comme le produit du rang par un facteur qui correspond au rang qu'on obtiendrait en écrivant la suite des nombres impairs :

  rang:    1     2     3      4      5      6       7        8        9
  impairs: 1     3     5      7      9      11      13       15       17
  nb hexa: 1=1×1 6=2×3 15=3×5 28=4×7 45=5×9 66=6×11 918=7×13 120=8×15 163=9×17

- Chercher, par essais, le rang qui donne un tel produit proche de 1000.

Notions mathématiques

nombres polygonaux, nombres hexagonaux, carrés, suites

Résultats

24.F.20

Points attribués, sur 21 classes de 6 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte et complète (le 32e nombre carré, 1 024 et le 23e nombre hexagonal, 1 035) avec explications détaillées (suites complètes ou partielles avec découverte de la formule ou de la règle).
• 3 points: Réponse correcte et complète avec explications partielles (début des suites sans découverte de la formule ou de la règle).
• 2 points: Réponse correcte et complète sans explication.
  ou réponse incomplète (seulement 1 024 et 1 035) sans le rang, avec explications détaillées.
• 1 point: Réponse correcte et complète pour le nombre carré et début de la suite des nombres hexagonaux.
• 0 point: Réponse correcte pour le nombre carré sans aucune explication
  ou incompréhension du problème.