Nombres polygonaux

Identification

Rallye: 24.F.20 ; catégorie: 10 ; domaines: OPN, FN
Familles:

• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• SF - Etudier des suites de figures
• SN - Traiter une suite numérique

Remarque et suggestion

Résumé

Déterminer le nombre carré et le nombre hexagonal le plus proche de 2016.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori

- Comprendre le mode de représentation et de détermination des nombres polygonaux.

- Pour les numéros carrés, on remarque immédiatement que ce sont des carrés parfaits. 1000 est situé entre 31² (= 961) et 32² (= 1024), le carré recherché a donc pour rang 32.

- Pour les nombres hexagonaux, il est possible, en observant leurs représentations, à partir du premier, de déterminer les suivants en identifiant à chaque fois le nombre de points à ajouter (on peut remarquer que ce nombre est égal à 4n-3, n étant le rang de l'hexagone).

  rang :        1   2    3         4            5              6	
  nb hexagonal: 1   6   15 = 6+9  28 = 6+9+13  45 = 6+9+13+17 66 = 6+9+13+17+21

- Pour arriver à 1000, une telle procédure est longue et sujette à des erreurs de calculs. Il est préférable de trouver une manière de déterminer le terme générique (de rang n) au moyen du calcul de la somme des premiers n termes d’une progression arithmétique à partir de 1, de raison 4. Cette somme peut s'exprimer par n(2n-1). Il faut alors déterminer la valeur de n tel que n(2n-1) soit la plus proche possible de 1000, soit par essais soit en résolvant l'équation du second degré 2n²-n = 1000.

La solution positive de l'équation est environ 22,6, donc le rang du nombre hexagonal voisin de de 1000 est 23 et le nombre hexagonal cherché est 23 × 45 = 1035.

- Si on ne connait pas la formule pour les nombres hexagonaux, on peut considérer autrement la suite des termes et chercher à les écrire sous la forme d’un produit de deux facteurs :

  rang:    1     2     3      4      5      6       7        8        9
  nb hexa: 1=1×1 6=2×3 15=3×5 28=4×7 45=5×9 66=6×11 918=7×13 120=8×15 163=9×17

On peut remarquer que chaque nombre apparait comme le produit du rang du terme par un facteur qui est le double de ce rang diminué de 1 ou comme le produit du rang par un facteur qui correspond au rang qu'on obtiendrait en écrivant la suite des nombres impairs :

  rang:    1     2     3      4      5      6       7        8        9
  impairs: 1     3     5      7      9      11      13       15       17
  nb hexa: 1=1×1 6=2×3 15=3×5 28=4×7 45=5×9 66=6×11 918=7×13 120=8×15 163=9×17

- Chercher, par essais, le rang qui donne un tel produit proche de 1000.

Notions mathématiques

nombres polygonaux, nombres hexagonaux, carrés, suites

Résultats

24.F.20

Points attribués, sur 21 classes de 6 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte et complète (le 32e nombre carré, 1 024 et le 23e nombre hexagonal, 1 035) avec explications détaillées (suites complètes ou partielles avec découverte de la formule ou de la règle).
• 3 points: Réponse correcte et complète avec explications partielles (début des suites sans découverte de la formule ou de la règle).
• 2 points: Réponse correcte et complète sans explication.
  ou réponse incomplète (seulement 1 024 et 1 035) sans le rang, avec explications détaillées.
• 1 point: Réponse correcte et complète pour le nombre carré et début de la suite des nombres hexagonaux.
• 0 point: Réponse correcte pour le nombre carré sans aucune explication
  ou incompréhension du problème.

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