Numeri poligonali

Identificazione

Rally: 24.F.20 ; categoria: 10 ; ambiti: OPN, FN
Famiglie:

• AM - Addizionare e moltiplicare numeri naturali
• SF - Studiare successioni di figure
• SN - Gestire una successione numerica

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Sunto

Determinare il numero quadrato e il numero esagonale più vicini a 1000.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Comprendere il modo di rappresentare e di determinare i numeri poligonali.

- Per i numeri quadrati si nota immediatamente, anche dal disegno, che sono quadrati perfetti. Poiché 1000 si trova tra i termini di rango 31 (312 = 961) e di rango 32 (322 = 1024), il numero quadrato cercato è 1024 ed ha rango 32.

- Per i numeri esagonali si possono determinare i numeri della successione osservando le loro rappresentazioni: a partire dal primo, si determinano i successivi individuando ogni volta il numero di punti da aggiungere che si possono calcolare togliendo 3 (vertici in comune ai lati non sovrapposti) dal prodotto dei quattro lati non sovrapposti e il rango, cioè 4n−3, deve n è il rango

  rango:       1	2    3    4         5                           6	
  n° esagonale: 1    6    15 = 6+9  28 = 6 +9+13	45 = 6+9+13+17  66 = 6+9+13+17+21

- Per avvicinarsi a 1000, tale procedura è lunga e soggetta ad errori di calcolo, quindi occorre trovare un modo per determinare il termine generico (di rango n) mediante calcolo della somma dei primi n termini di una progressione aritmetica a partire da 1, di ragione 4: che si può esprimere con n(2n-1). Quindi occorre determinare il valore di n tale che n(2n-1) si avvicini a 1000 o per tentativi o risolvendo l’equazione di secondo grado 2n2-n =1000.
La soluzione positiva dell’equazione è circa 22,6, quindi il rango del numero esagonale più vicino a 1000 è 23 e il numero esagonale è 23×45 = 1035

Oppure:

Se non si conosce tale formula per i numeri esagonali e se si eseguono le somme, si possono cercare regolarità fra i ranghi e i numeri esagonali corrispondenti:

  rango:     1       2      3       4       5      6        7        8        9
  esagonali: 1=1×1   6=2×3  15=3×5  28=4×7  45=5×9 66=6×11  918=7×13 120=8×15 163=9×17

Si può notare che ogni prodotto è dato dal rango del termine per un altro fattore, che è il doppio del rango diminuito di 1. Oppure si può notare che ogni prodotto è dato dal rango del termine per il numero dispari che occupa la posizione espressa dal rango stesso. Cercare quindi per tentativi due numeri siffatti il cui prodotto sia prossimo a 1000.

Risultati

24.F.20

Punteggi attribuiti su 21 classi di 6 sezioni:

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4: Risposte corrette e complete (il 32o numero quadrato, 1024 e il 23o numero esagonale, 1035) con spiegazioni dettagliate (successioni complete o parziali con scoperta della formula o della regola)
• 3: Risposte corrette e complete con qualche dettaglio (inizio delle successioni senza scoperta della formula o della regola)
• 2: Risposte corrette e complete senza spiegazioni
  oppure risposte incomplete (solo 1024 e 1035) senza il rango, con spiegazioni dettagliate
• 1: Risposta corretta e completa per il numero quadrato e solo un inizio della successione dei numeri esagonali
• 0: Risposta corretta per il numero quadrato senza alcuna spiegazione e niente riguardo ai numeri esagonali
  oppure incomprensione del problema