Banca di problemi del RMT
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Determinare il numero quadrato e il numero esagonale più vicini a 1000.
- Comprendere il modo di rappresentare e di determinare i numeri poligonali.
- Per i numeri quadrati si nota immediatamente, anche dal disegno, che sono quadrati perfetti. Poiché 1000 si trova tra i termini di rango 31 (312 = 961) e di rango 32 (322 = 1024), il numero quadrato cercato è 1024 ed ha rango 32.
- Per i numeri esagonali si possono determinare i numeri della successione osservando le loro rappresentazioni: a partire dal primo, si determinano i successivi individuando ogni volta il numero di punti da aggiungere che si possono calcolare togliendo 3 (vertici in comune ai lati non sovrapposti) dal prodotto dei quattro lati non sovrapposti e il rango, cioè 4n−3, deve n è il rango
rango: 1 2 3 4 5 6 n° esagonale: 1 6 15 = 6+9 28 = 6 +9+13 45 = 6+9+13+17 66 = 6+9+13+17+21
- Per avvicinarsi a 1000, tale procedura è lunga e soggetta ad errori di calcolo, quindi occorre trovare un modo per determinare il termine generico (di rango n) mediante calcolo della somma dei primi n termini di una progressione aritmetica a partire da 1, di ragione 4: che si può esprimere con n(2n-1). Quindi occorre determinare il valore di n tale che n(2n-1) si avvicini a 1000 o per tentativi o risolvendo l’equazione di secondo grado 2n2-n =1000.
La soluzione positiva dell’equazione è circa 22,6, quindi il rango del numero esagonale più vicino a 1000 è 23 e il numero esagonale è 23×45 = 1035
Oppure:
Se non si conosce tale formula per i numeri esagonali e se si eseguono le somme, si possono cercare regolarità fra i ranghi e i numeri esagonali corrispondenti:
rango: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 esagonali: 1=1×1 6=2×3 15=3×5 28=4×7 45=5×9 66=6×11 918=7×13 120=8×15 163=9×17
Si può notare che ogni prodotto è dato dal rango del termine per un altro fattore, che è il doppio del rango diminuito di 1. Oppure si può notare che ogni prodotto è dato dal rango del termine per il numero dispari che occupa la posizione espressa dal rango stesso. Cercare quindi per tentativi due numeri siffatti il cui prodotto sia prossimo a 1000.
Punteggi attribuiti su 21 classi di 6 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 10 | 3 (14%) | 1 (5%) | 4 (19%) | 3 (14%) | 10 (48%) | 21 | 2.76 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
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