Le ruban de Marie

Identification

Rallye: 11.F.02 ; catégories: 3, 4 ; domaine: OPN
Familles:

• ADD - Rechercher une somme ou une différence de nombres
• PRG - Traiter des progressions

Remarque et suggestion

Résumé

Rechercher les suites de nombres naturels consécutifs dont la somme est 45.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

• Lire l'énoncé et s'approprier les deux conditions "nombres qui se suivent sur le ruban" et "somme 45"
• Essayer des sommes d’autres groupes de 3 nombres consécutifs, constater que leur somme est plus petite ou plus grande que 45. Imaginer alors que les nombres consécutifs ne sont pas forcément 3 (comme dans l'exemple), mais qu’ils pourraient être 2, 4, 6, ...
• Organiser une recherche par essais, au hasard,

    * ou par essais organisés en commençant par 2 nombres (22 et 23) en continuant par 3 (exemple), par 4 (sans solution), par 5 (7, 8, 9, 10, 11), par 6 (5, 6, 7, 8, 9, 10) par 7 et par 8 (sans solution) par 9 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) qui est la dernière solution puisque la suite commence à 1,
    * ou essayer d'additionner les nombres des suites commençant par 1 (ça marche), puis par 2, par 3, par 4 etc. 
    * ou diviser 45 par ses différents diviseurs (rechercher des divisions de 45 qui marchent" pour obtenir un "nombre moyen" de la suite). (La calculatrice est un outil essentiel pour ces recherches).

Autre version

• A partir d’un nombre choisi au hasard, additionner les nombres suivants et voir si on obtient 45.
• Chercher des suites de deux, quatre, cinq ... nombres consécutifs par approximations successives. Par exemple, pour deux nombres, commencer par 14 et 15, constater que c’est insuffisant, se déplacer de 6 avec 20 et 21 ... pour aboutir à 22 et 23.
• Déterminer un des nombres de la suite par multiplication ou division approchées. Par exemple, pour deux nombres, se rendre compte que 22 x 2 = 44 ou que la moitié de 45 est proche de 22 ou de 23.
• Conduire une recherche systématique pour chacune des suites envisagée (de deux, quatre, cinq, six ... nombres) Par exemple, pour quatre nombres, se rendre compte que 10 + 11 + 12 + 13 = 46 (trop grand) et que 9 + 10 + 11 + 12 = 42 (trop petit) permet de déduire qu’il n’y a pas de solution.
• et trouver ainsi que les seules possibilités, différentes de la donnée (14 ; 15, 16) sont (22, 23) avec deux nombres, (7, 8, 9, 10, 11) avec cinq nombres, (5, 6, 7, 8, 9, 10) avec six nombres (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) avec neuf nombres qui est la dernière solution puisque la suite commence à 1,

Notions mathématiques

numération, addition, division, diviseurs

Résultats

11.F.02

Sur la base de 72 classes participant aux finales régionales du 11e RMT, de 13 sections.

Selon les critères de corrections:

• 4 points: Les cinq solutions
  ou les quatre nouvelles (22-23 ; 14-15-16; 7-8-9-10-11; 5-6-7-8-9-10 ; 1-2-3.-...-9), avec les calculs correspondants
• 3 points: Les cinq solutions (ou quatre nouvelles) sans le détail des calculs
  ou trois nouvelles solutions avec les calculs
• 2 points: Trois nouvelles solutions sans calculs
  ou deux nouvelles avec calculs
• 1 point: Une solution nouvelle avec calculs
  ou deux nouvelles solutions sans calculs
  ou solutions avec erreurs de calcul
• 0 point: Incompréhension du problème
  ou une solution nouvelle sans calculs

Pour les 17 classes de catégorie 3 et les 17 classes de catégorie 4 examinées lors de la Finale des finales virtuelle, c’est-à-dire les classes gagnantes des finales régionales, les moyennes sont un peu plus élevées, respectivement 1,71 et 2,76.

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Il n’y a pas d’obstacles bien évidents dans ce travail mais des « résistances » à développer une réflexion préalable sur les opérations à effectuer avant de passer au calcul effectif, ce qu’on appel aussi « calcul réfléchi » ou « calcul raisonné ».

Exploitations didactiques

Le problème présente des potentialités évidentes pour travailler sur les écritures de sommes, sur les propriétés des opérations, les liens entre addition et multiplication, la division euclidienne. En particulier:

• Percevoir une « somme » comme un « nombre » et non plus seulement comme le résultat d’une addition et comprendre que plusieurs additions peuvent donner la même somme.
• Envisager plusieurs écritures d’un même nombre : 45 ; 14 + 15 + 16 ; 22 + 23, … et aller au-delà de l’écriture d’une addition en colonne avec les retenues.
• Appliquer les propriétés de l’addition, en particulier l’associativité et la commutativité dans les sommes de plus de deux termes : 7 + 8 + 9 + 10 + 11 peut s’associer en (9 + 11) + 10 + (7 + 8) pour permettre d’effectuer mentalement les approximations 20 + 10 + 15.
• Transformer une somme en un produit (lien fondamental entre addition et multiplication et distributivité) : après avoir décomposé, mentalement, 14 + 15 + 16 en (15 – 1) + 15 + (15 + 1), passer par associativité et commutativité à (15 + 15 + 15) + (1 – 1) = 3 x 15.
• Connaissant la somme de plusieurs termes proches, estimer l’un des termes par division ou (multiplication lacunaire) approchée ou par division euclidienne : si 45 était la somme de 6 nombres consécutifs, ces nombres devraient être proches de 7 car 45 = 6 x 7 + 3

Pour vaincre certaines habitudes ou automatismes consistant à appliquer immédiatement une procédure de calcul algorithmique, ou à utiliser la calculatrice, il paraît important de revenir sur les écritures des nombres à l’aide d’opérations : si les élèves ont trouvé par essais que 45 est la somme de six terme consécutifs, il paraît important de réfléchir sur l’une ou l’autre des écritures de ce résultat, par exemple 45 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10, de voir que ce nombre se situe entre 6 x 5 et 6 x 10, …

autre version

Le problème présente des potentialités évidentes pour travailler sur les concepts de quotient euclidien, d’approximation par des nombres naturels, de liens entre l’addition et la multiplication.

En effet, la recherche systématique et économique des solutions (Voir analyse a priori et procédures) fait intervenir les quotients euclidiens du « nombre but » (45) par les nombres successifs de termes à envisager : 2, 3, 4, 5, .... Dans cette situation, ces quotients peuvent trouver du sens dans un cadre purement numérique et être mis en relation avec les nombres de la suite cherchée. Par exemple :

• pour deux termes le quotient de 45 par 2 donne 22 avec un reste de 1 qui pourra être reporté sur le deuxième nombre ;
• pour trois termes, le quotient est exact (15, reste 0), il n’y aura donc pas de reste à reporter, le 15 ne peut pas être le premier terme, mais celui du milieu
• pour quatre termes, le quotient est 11 avec un reste de 1, insuffisant pour reporter sur les trois termes suivant dans l’hypothèse où 11 serait le premier ; si on fait l’hypothèse que 10 est le premier nombre, le quotient de 45 par 10 donnerait 4 avec un reste de 5, qui ne suffit pas à être reporte sur les trois suivants (il faudrait 1 + 2 + 3 = 6) , et, dans une troisième hypothèse où 9 serait le premier nombre, le reste deviendrait 9 et serait trop grand.

Ces exemples montrent que la recherche peut encore s’ouvrir vers l’idée de quotient exact comme « moyenne », vers des comparaisons d’une somme de nombres consécutifs avec les produits du nombre de termes par le plus petit, respectivement le plus grand des nombres de la suite ; vers un rapprochement avec les concepts de diviseurs et multiples ; ...

Bibliographie

On trouve quelques informations sur ce problème dans l’article sur la Finale des finales du 11e RMT in Actes des journées d’études sur le Rallye mathématique transalpin Vol. 4 Mondorf-les-Bains. (170-199)

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