Anniversaires en famille

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Rallye: 25.I.15 ; catégories: 7, 8, 9, 10 ; domaines: OPN, LR
Familles:

• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• LO - Effectuer des déductions
• LO/NU - Effectuer des déductions avec des contraintes numériques

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Résumé

Trouver l’âge de la plus jeune de quatre personnes sachant que, il y a quelques années, les quatre âges étaient en progression géométrique de raison 2 et que, aujourd’hui, l’âge de la troisième est le double de celui de la plus jeune et que la plus âgée a 110 ans.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori

- Se représenter les relations entre les âges des quatre personnes dans le passé et constater que la relation « le double » répétée d’une personne à l’autre permet aussi de dire que l’âge de la troisième est le « quadruple » de la première … et que, par exemples les quatre âges pouvaient s’exprimer au moyen de celui de Francesca : E = 2F, C = 4F, L = 8F (selon une progression 1, 2, 4, 8).

- Se rendre compte que, les relations entre les âges se modifient avec les années et qu’en 2017, l’âge de chaque personne a augmenté du même nombre (d’années) et que l’âge de l’une n’est plus le double de la précédente, en particulier Carla qui avait quatre fois l’âge de Francesca il y a quelques années ne l’a plus que deux fois en 2017.

Il y a de nombreuses manières de procéder :

- Par essais de l’âge de F « avant », puis en 2017

- En partant des relations entre F et C qui ont passé du quadruple dans le passé au double en 2017, comprendre que l’écart (d) entre le passé et 2017 est le double de l’âge de F « passé » ou la moitié de l’âge de C « passé ». (Cette relation est très délicate à trouver, elle est issue de l’égalité « C et le double de F » en 2017 4F + d = 2(F + d) qui se simplifie en 2F = d par soustractions de 2F et de d dans chaque membre, soit par calcul algébrique, soit par un modèle de « balance », soit par une représentation graphique ??). La grand-mère qui a, en 2017, 8 fois l’âge de F + d aura alors 10 fois l’âge de F ou 110 ce qui conduit à F = 11 ans dans le passé puis à un écart de 22 ans et finalement à 33 ans pour l’âge de F en 2017.

- Par voie algébrique : avec x âge de F « passé », et n période entre « passé » et 2017, résoudre le système:

  8x + n = 110
  4x + n = 2(x + n)

- Conclure que Francesca avait 11 ans « avant » et que, après 22 ans, elle a 33 ans en 2017.

Notions mathématiques

addition, somme, multiplication, progression géométrique, temps, durée

Résultats

25.I.15

Points attribués, sur 2284 classes de 19 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (33 ans) avec explications claires et complètes de la procédure suivie (essais, relations décrites ou représentées graphiquement ou procédure algébrique, avec détails des calculs)
• 3 points: Réponse correcte avec explications peu claires (essais mal exprimés, graphique difficile à comprendre, …)
  ou découverte de l’âge de Francesca (11), et les années passées (22) mais sans effectuer les calculs pour déterminer l’âge de F en 2017
  ou réponse erronée due à une seule erreur de calcul mais avec explications claires et complètes
• 2 points: Réponse correcte avec seulement une vérification
  ou réponse erronée avec deux erreurs de calcul mais avec explications complètes
• 1 point: Réponse correcte sans explication
  ou début de raisonnement correct
• 0 point: Incompréhension du problème