Banque de problèmes du RMT
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Trouver l’âge de la plus jeune de quatre personnes sachant que, il y a quelques années, les quatre âges étaient en progression géométrique de raison 2 et que, aujourd’hui, l’âge de la troisième est le double de celui de la plus jeune et que la plus âgée a 110 ans.
Analyse de la tâche a priori
- Se représenter les relations entre les âges des quatre personnes dans le passé et constater que la relation « le double » répétée d’une personne à l’autre permet aussi de dire que l’âge de la troisième est le « quadruple » de la première … et que, par exemples les quatre âges pouvaient s’exprimer au moyen de celui de Francesca : E = 2F, C = 4F, L = 8F (selon une progression 1, 2, 4, 8).
- Se rendre compte que, les relations entre les âges se modifient avec les années et qu’en 2017, l’âge de chaque personne a augmenté du même nombre (d’années) et que l’âge de l’une n’est plus le double de la précédente, en particulier Carla qui avait quatre fois l’âge de Francesca il y a quelques années ne l’a plus que deux fois en 2017.
Il y a de nombreuses manières de procéder :
- Par essais de l’âge de F « avant », puis en 2017
- En partant des relations entre F et C qui ont passé du quadruple dans le passé au double en 2017, comprendre que l’écart (d) entre le passé et 2017 est le double de l’âge de F « passé » ou la moitié de l’âge de C « passé ». (Cette relation est très délicate à trouver, elle est issue de l’égalité « C et le double de F » en 2017 4F + d = 2(F + d) qui se simplifie en 2F = d par soustractions de 2F et de d dans chaque membre, soit par calcul algébrique, soit par un modèle de « balance », soit par une représentation graphique ??). La grand-mère qui a, en 2017, 8 fois l’âge de F + d aura alors 10 fois l’âge de F ou 110 ce qui conduit à F = 11 ans dans le passé puis à un écart de 22 ans et finalement à 33 ans pour l’âge de F en 2017.
- Par voie algébrique : avec x âge de F « passé », et n période entre « passé » et 2017, résoudre le système:
8x + n = 110 4x + n = 2(x + n)
- Conclure que Francesca avait 11 ans « avant » et que, après 22 ans, elle a 33 ans en 2017.
addition, somme, multiplication, progression géométrique, temps, durée
Points attribués, sur 2284 classes de 19 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 830 (75%) | 118 (11%) | 58 (5%) | 41 (4%) | 60 (5%) | 1107 | 0.54 |
| Cat 8 | 530 (66%) | 80 (10%) | 58 (7%) | 51 (6%) | 89 (11%) | 808 | 0.87 |
| Cat 9 | 83 (42%) | 17 (9%) | 30 (15%) | 25 (13%) | 41 (21%) | 196 | 1.61 |
| Cat 10 | 82 (47%) | 12 (7%) | 20 (12%) | 15 (9%) | 44 (25%) | 173 | 1.58 |
| Total | 1525 (67%) | 227 (10%) | 166 (7%) | 132 (6%) | 234 (10%) | 2284 | 0.83 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
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