Compleanni in famiglia

Identificazione

Rally: 25.I.15 ; categorie: 7, 8, 9, 10 ; ambiti: OPN, LR. AL
Famiglie:

• AM - Addizionare e moltiplicare numeri naturali
• LO - Effettuare deduzioni
• LO/NU - Effettuare deduzioni con vincoli numerici
• MEQ - Mettere in equazione
• MEQ/EQL - Risolvere un sistema di equazioni lineari

Remarque et suggestion

Sunto

Trovare l’età della più giovane di quattro persone sapendo che, qualche anno prima, le quattro età erano in progressione geometrica di ragione 2 e che, nel 2017, l’età della terza è il doppio di quella della più giovane e che la più vecchia ha 110 anni.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Rappresentarsi le età delle quattro persone nel passato e constatare che la relazione «…ha il doppio degli anni di…», ripetuta da una persona all’altra, permette di dire che l’età della terza è il «quadruplo» dell’età della prima… e che, per esempio, le quattro età si possono esprimere in funzione dell’età, F, di Francesca: E = 2F, C = 4F, L = 8F (in progressione 1, 2, 4, 8).

- Rendersi conto che le relazioni fra le età si modificano con il passare degli anni e che nel 2017 l’età di ciascuna persona aumenta dello stesso numero (di anni) e che l’età dell’una non è più il doppio della precedente; in particolare Carla, che aveva quattro volte l’età di Francesca, ne avrà solamente il doppio nel 2017.

Ci sono più modi di procedere:

- Per tentativi sull’età di Francesca prima e dopo il 2017:

- Partendo dalle relazioni fra F e C che sono variate dal quadruplo nel passato al doppio nel 2017, comprendere che lo scarto (d), tra il primo anno “particolare” e il 2017 è il doppio dell’età di F nel “passato” o la metà dell’età di C nel “passato” [Questa relazione è molto delicata da trovare, essa deriva dall’uguaglianza «C e il doppio di F» nel 2017, 4F + d = 2(F + d), che si semplifica in 2F = d per sottrazione di 2F e di d da ogni membro, sia con calcolo algebrico, sia con il modello della « bilancia », sia con una rappresentazione grafica]. La nonna che nel 2017 ha 8 volte l’età di Francesca sommata a d, avrà allora 10 volte l’età di Francesca o 110 anni, che porta a F = 11 anni nel passato, poi ad uno scarto di 22 anni ed infine a 33 anni per l’età di Francesca nel 2017.

- Per via algebrica: indicare, ad esempio, con x l’età di Francesca all’epoca del primo evento, con n gli anni trascorsi fra il primo ed il secondo evento ed impostare un sistema di due equazioni in due incognite:

  8x + n = 110
  4x + n = 2(x + n)

- Concludere che l’età di Francesca 22 anni fa era 11 e che quindi oggi compie 33 anni.

Nozioni matematiche

addizione, somma, moltiplicazione, progressione geometrica, tempi, durata, equazioni

Risultati

25.I.15

Punteggi attribuiti su 2284 classi di 19 sezioni:

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (33 anni) con spiegazione chiara e completa della procedura seguita (tentativi, relazioni rappresentate graficamente o procedura algebrica, con dettaglio dei calcoli)
• 3 punti: Risposta corretta con spiegazione poco chiara (tentativi mal espressi, grafico difficile da comprendere, …)
  oppure trovata l’età di Francesca (11), trovati gli anni trascorsi (22), ma non effettuata la somma per determinare l’età di Francesca nel 2017
  oppure risposta errata dovuta ad un solo errore di calcolo ma con spiegazione corretta e completa
• 2 punti: Risposta corretta con solo verifica
  oppure risposta errata a causa di due errori di calcolo ma con spiegazioni complete
• 1 punto: Risposta corretta senza spiegazione
  oppure inizio di ragionamento corretto
• 0 punto: Incomprensione del problema

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Le osservazioni che seguono sono ricavate dall’analisi degli elaborati delle sezioni di Parma, Puglia e Siena.

La procedura più usata è quella per tentativi più o meno organizzati (in tabella, con introduzione di lettere) in cui si cercano o gli anni come età o gli anni passati tra un compleanno e l’altro. In alcuni casi i tentativi sono limitati dall’individuazione di vincoli particolari che semplificano la ricerca (ad esempio, si considera che l’età della nonna nel passato deve essere un multiplo di 8 perché solo così si ha la relazione di “raddoppio” fra le quattro età). Alcune procedure per tentativi sono senza presenza di tabelle: si ipotizza un certo numero di anni per Francesca nel passato e poi si va avanti eseguendo il controllo e procedendo per esclusione.

La procedura algebrica compare nelle categorie 9, ma soprattutto 10, in cui si trova impostato un sistema di due equazioni lineari in due incognite che è risolto con gli usuali metodi algebrici.

Nelle categorie più basse, solo in casi sporadici è presente una procedura di tipo algebrico, non formalizzata, con risoluzione per tentativi. In qualche altro protocollo si fa ricorso ad una rappresentazione grafica delle relazioni tra le età che però in genere, non porta alla corretta soluzione perché si indicano con lo stesso simbolo (incognita) due grandezze-età diverse, cioè l’età di Francesca nel passato e l’età di Francesca nel 2017. Fanno eccezione tre elaborati di categoria 8 che arrivano alla soluzione corretta (33 anni), partendo dalla rappresentazione simbolica di tutte le età nel passato (F=X, E = XX, C = XXXX, L= XXXXXXXX), a ciascuna delle quali si aggiungono per due volte gli anni di Francesca nel passato (XX). La nuova rappresentazione grafica ottenuta mostra che gli anni di Carla sono proprio il doppio di quelli di Francesca (C = XXXXXX, F = XXX) e quindi si conclude che tale età deve essere relativa al 2017, anno in cui la nonna Lia ha 110 anni. Poiché graficamente quest’età è 10 volte quella di Francesca nel passato, si ricava che l’età di Francesca nel passato è 11 anni e che nel 2017 ha 33 anni.

Si osserva che la procedura sopra descritta porta alla soluzione corretta perché graficamente lo scarto d tra il 2017 e l’anno particolare è stato misurato rispetto ad X, età di F nel passato, e quindi tutto torna quando tale scarto è dato da XX (nella rubrica “Compito di risoluzione” si dimostra algebricamente che d = 2F).

Da notare, invece, che in alcuni elaborati lo scarto giusto d = 2F è ottenuto in modo errato calcolando la differenza 4F−2F = 2F tra l’età di Carla nel passato, cioè 4F, e quella nel 2017, considerata erroneamente 2 F!

L’errore più comune riscontrato in tutte le categorie è la non comprensione che le relazioni cambiano al passare degli anni. Tale errore dà spesso luogo ad una procedura aritmetica di divisioni successive per 2 a partire da 110, che porta a trovare l’età di Francesca sottoforma di numero decimale. Solo in alcuni casi, tale numero è approssimato per eccesso ad un intero applicando le regole di approssimazione o cercando un aggancio con la realtà (per esempio, si trova scritto che “27,5 si deve interpretare come 27 anni compiuti e quindi si considera 28”), mentre più spesso si accettano per le età valori tipo 27,5 e 13,75 (quest’ultimo ottenuto dal precedente dividendo ancora per 2), con una completa perdita del “senso” che tale numero dovrebbe avere.

Alcuni protocolli riportano la dicitura “problema impossibile” perché le due incognite sono state viste scollegate dalle loro relazioni per cui una di esse è stata considerata come un dato mancante.

Indicazioni didattiche

Il problema, come evidenziato anche dai risultati di tutte le sezioni, ha creato difficoltà in ogni categoria, con accentuazione nelle categorie 7 e 8 dove la media è scesa sotto l’1%.

Nel riproporre il problema in classe, a gruppi, è importante dare spazio alla fase di appropriazione (che è quella che ha creato le maggiori difficoltà) con una verifica su quanto i vari gruppi hanno compreso, ottenuta da un confronto tra le diverse posizioni. Si può in questa fase indirizzare la riflessione sull’aspetto relazionale fra le età delle persone che varia nei due anni (quello passato, non noto, e il 2017) e che tale variazione è legata al numero di anni trascorsi, lo stesso per ogni persona coinvolta.

Nella fase di confronto e discussione delle procedure messe in atto per la risoluzione del problema, gli allievi possono essere portati a riflettere sull’efficacia di rappresentazioni ispirate al modello “della bilancia a due piatti” per visualizzare dati, relazioni tra gli stessi e loro variazioni nel tempo e lavorare correttamente su di essi [per esempio, dalle relazioni valide nel passato: F= X, E= XX, C= XXXX=, L= XXXXXXXX, con X=età in anni di F, aggiungendo d =numero di anni per arrivare al 2017, si ottengono le relazioni nel 2017, F=X+d, C=XXXX+d = XX+d+d, e da queste, tenendo presente il “bilanciamento”, si ricava d=XX; ancora dal “bilanciamento” tra i due modi di esprimere l’età di Lia, 110 e “otto volte X più d”, ovvero “10 volte X”, si ottiene X=11 e d = 22].

Una tale attività ben si inserisce in un percorso di costruzione collettiva del concetto di equazione.

Si potrebbe pensare anche ad una variante del problema che eviti di ottenere lo scarto d tra l’anno del passato e il 2017 in modo errato (da 4F−2F), come segnalato nella precedente rubrica (per esempio si può richiedere che, nel 2017, Carla abbia il triplo dell’età di Francesca e che la nonna abbia 102 anni, lasciando invariato il resto).

In categoria 9 e 10, il problema si presta per consolidare il concetto di sistema.

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