Nombres de six chiffres

Identification

Rallye: 25.I.18 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaine: OPN
Familles:

• DIV - Rechercher des multipes et/ou des diviseurs
• MUL - Multiplier des nombres naturels et diviser, avec reste

Remarque et suggestion

Résumé

Trouver les nombres formés des six chiffres 1, 2, 3, 4, 5, et 6, divisibles par 6, tels que le nombre formé des cinq premiers chiffres est divisible par 5, celui formé par les quatre premiers chiffres est divisible par 4, celui formé par les trois premiers chiffres est divisible par 3 et celui formé par les deux premiers chiffres est divisible par 2.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

//Analyse de la tâche a priori ://

- Comprendre que chacun des chiffres 1 à 6 doit apparaître à une reprise (et une seule) dans le nombre recherché.

- Se rappeler les critères de divisibilité utiles dans les conditions du problème : par 2 (dernier chiffre pair) ; par 3 (somme des chiffres multiple de 3), par 4 (se terminant par 2 ou 6 si le précédent est impair, par 4 si le précédant est pair ; par 5 (se termine par 5) par 6 (somme des chiffres multiple de 2 et de 3).

- Une procédure par essais chiffre par chiffre permet rapidement de limiter les possibilités en conservant le 5 pour le 5e chiffre et l’excluant des autres positions :

• premier chiffre, 5 possibilités : 1, 2, 3, 4, 6
• deux premiers chiffres, 12 possibilités : 12, 14, 16, 24, 26, 32, 34, 36, 42, 46, 62, 64
• trois premiers chiffres, 15 possibilités : 123, 126, 162, 243, 246, 261, 264, 321, 324, 342, 423, 426, 462, 621, 624, 642
• quatre premiers chiffres, se réduit à 6 possibilités : 1236, 1264, 1624, 2436, 3216, 4236,
• cinq premiers chiffres, les 6 possibilités précédentes : 12365, 12645, 16245, 24365, 32165, 42365,
• six chiffres, se réduit aux 2 possibilités : 123654 ; 321654.

- D’une manière plus économique, se rendre compte que les chiffres 2, 4 ou 6 doivent se situer en 2e, 4e ou 6e position pour obtenir des nombres pairs (multiples de 2, de 4 et de 6), de même le chiffre 5 doit être en 5e position (multiple de 5) et il ne reste plus que la 1e ou 3e position pour les chiffres 1 et 3. La troisième condition impose le « 2 » en deuxième position (la somme des trois premiers chiffres devant être un multiple de 3). La quatrième condition impose le « 6 » en quatrième position. Contrôler enfin que les deux nombres obtenus sont bien divisibles par 6.
Il y a évidemment d’autres manières d’organiser la recherche qui toutes aboutissent aux deux seules possibilités : 123654 et 321654.

Ou: Puisque le nombre formé des six chiffres est toujours divisible par 3 car 1+2+3+4+5+6=21, pour être divisible par 6 il suffit que le dernier chiffre soit pair, par conséquent on peut avoir les configurations – – – –52, – – – –54, – – – –56 qui se complètent en tenant compte des autres conditions pour déterminer les nombres corrects.

Ou: on peut commencer la recherche à partir des nombres de quatre chiffre divisibles par 4: les deux derniers chiffres peuvent être 12, 16, 24, 32, 36, 64 et compléter ensuite avec les deux premiers tenant compte de la divisibilité par 2 et par 3. On obtient ainsi 3216, 1624, 1236, 2436, 4236, 1264. A ces nombres, ajouter le 5 à la cinquième place et compléter avec le chiffre qui reste. On obtient ainsi 321654, 162453, 123654, 243651, 423651, 126453 et en écartant ceux qui sont impairs il reste 321654 et 123654.

Notions mathématiques

nombre, nombre naturel, chiffre, divisibilité, diviseur

Résultats

25.I.18

Points attribués, sur 1178 classes de 19 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte et complète (123654 et 321654) avec explication détaillée de la démarche
• 3 points: Réponse correcte et complète avec explications lacunaires de la démarche
• 2 points: Réponse correcte et complète sans explications
  ou un seul nombre trouvé avec détails de la démarche
  ou les deux nombres mais avec un ou deux nombres incorrects et détails de la démarche (par exemple 123456, 123654, 321456, 321654 où les deux intrus ne respectent pas la quatrième condition)
• 1 point: Un seul nombre trouvé sans explication
  ou les deux nombres avec au maximum deux autres nombres (de six chiffres différents) différents de ceux décrits sous « 2 points »
  ou début de recherche correct (par exemple la position du 5 et quelques explications sur la divisibilité)
• 0 point: Incompréhension du problème

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