Les dragons

Identification

Rallye: 25.II.09 ; catégories: 5, 6, 7 ; domaines: OPN, AL
Familles:

• ADD - Rechercher une somme ou une différence de nombres
• MEQ - Etablir puis résoudre des (in)équations
• MEQ/EQL - Résoudre un système d’équations linéaires

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Résumé

Résoudre dans l'ensemble des nombres naturels un système élémentaire de trois équations du premier degré à trois inconnues dans un contexte imaginaire de têtes de dragons.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Appropriation

- Comprendre que les nombres de têtes de chaque dragon ne sont pas connus mais que, à partir de la première condition, la différence, 5, entre les nombres de têtes du dragon rouge et du dragon vert est connue, tandis qu'à partir de la deuxième condition, la différence, 4, entre le nombre de têtes du dragon jaune et vert est connue, mais aussi leur somme, 28.

- En déduire donc que le dragon rouge a le moins de têtes de tous, tandis que le dragon jaune en a le plus grand nombre et, par conséquent, que l'ordre, en sens ascendant, par rapport au nombre de têtes des trois dragons est : dragon rouge, dragon vert, dragon jaune.

Résolution

Pour déterminer le nombre de têtes de chaque dragon on peut procéder de plusieurs manières.

Procéder par essais, en commençant par exemple avec 6 têtes pour le dragon vert, puis 10 pour le dragon jaune, vérifiez que le total (6 + 10) = 16 est différent de 28 et poursuivre les essais, en les organisant éventuellement (par exemple avec un tableau), jusqu'à trouver 12 têtes pour le dragon vert et 16 pour le jaune (12 + 16) = 28. Être conscient que les essais suivants « s'éloignent » de 28 et que la solution est donc unique.

Ou procéder par déduction, éventuellement à l'aide d'un schéma, en soustrayant 4 de 28 pour obtenir deux nombres égaux dont la somme est 24, soit 12 et 12, puis ajouter 4 à l'un d'eux et trouver 16 et 12.

- Utiliser la première condition qui dit que le dragon rouge a 5 têtes de moins que le dragon vert. Sachant que le nombre de têtes du dragon vert est de 12, calculer le nombre de têtes du dragon rouge : 12 – 5 = 7.

- Conclure que le dragon rouge a 7 têtes, le dragon vert a 12 têtes et le dragon jaune en a 16.

Ou, déduire de la deuxième condition que le total 28 comprend deux fois le nombre de têtes du dragon vert augmenté des quatre que possède en plus le dragon jaune. Cherchez ensuite, par essais et erreurs ou par raisonnement arithmétique, ou à l'aide d'une représentation graphique, le nombre tel que son double augmenté de 4 donne 28 et comprendre que c'est le nombre de têtes du dragon vert.

- Trouver ensuite le nombre de têtes du dragon rouge en utilisant la première condition : 12 – 5 = 7 )

Notions mathématiques

addition, soustraction, différence, somme, nombre naturel, équation

Résultats

25.II.09

Points attribués, sur 3411 classes de 20 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (7 pour le dragon rouge, 12 pour le vert et 16 pour le jaune) avec une description claire de la démarche (indication des essais et de leur organisation, présentation complète des calculs) montrant que la solution trouvée est unique
• 3 points: Réponse correcte avec des explications incomplètes ou peu claires (seulement quelques essais) ou seulement une vérification
• 2 points: Réponse incomplète (16 pour le jaune et 12 pour le vert, oubli du rouge) avec explications claires
  ou réponse correcte pour les nombres de têtes du dragon vert (12) et du dragon jaune (16), mais une erreur pour le dragon rouge (17 = 12 + 5)
  ou bien réponse correcte sans explication ni vérification
  ou bien réponse qui montre une compréhension des informations avec des explications adéquates pour trouver la solution, mais avec des erreurs de calcul ou des imprécisions dans la résolution arithmétique
• 1 point: Début de recherche correcte, par exemple quelques essais montrant que les deux informations ont été comprises, mais sans succès
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Les observations suivantes sont obtenues à partir de l'analyse a posteriori de 926 copies des sections de Belluno (52), Cagliari (69), Puglia (197) et Sienne (608), réparties par catégorie comme suit : 217 copies de cat.5, 363 de cat.6, 346 de cat.7. Le petit nombre de copies blanches pour chaque catégorie et les explications détaillées des raisonnements et calculs effectués montrent que le problème était facilement accessible.

Les procédures correctes les plus utilisées dans toutes les catégories sont la procédure "par essais" (prédominante en catégorie 5) et la procédure "par déduction" (fréquemment appliquée dans les catégories supérieures), basée sur la suppression de 4 (différence de têtes entre les dragons jaunes et verts) de 28 et la division du résultat par 2 pour trouver le nombre 12 des têtes du dragon vert (à partir de là, sont appliquées les relations de l'énoncé pour obtenir le nombre de têtes des deux autres dragons).

Dans certaines copies de cat.6 et cat.7, il existe également une représentation graphique correcte des relations impliquées, souvent au moyen de « segments », ce qui facilite la résolution du problème.

Les procédures suivantes, non prévues dans l'analyse a priori, ont également été retrouvées dans les copies examinés :

• a) Comprendre que, si R, V, G indiquent les numéros des têtes des trois dragons, on a aussi V+G = 28 = R+5+R+5+4 et donc R = (28-14):2=7 et trouver ensuite V et G. Cette procédure apparaît dans certaines copies de la section de Sienne des trois catégories (3 en cat.5, 12 en cat.6 et 3 en cat.7), toujours accompagnées, à l'exception d'une seule, d'une représentation graphique appropriée qui la justifie.
• b) Diviser la somme 28 par 2 et ajouter et soustraire 2 au résultat obtenu pour trouver le nombre de têtes des dragons jaune et vert Cette procédure est présente dans de nombreuses copies des trois catégories, avec un pourcentage plus élevé en catégorie 5.
• c) Poser et résoudre une équation Compte tenu des catégories auxquelles s'adresse le problème, dans l'analyse a priori la référence à une procédure algébrique n'apparaît que dans la description de la tâche mathématique et non parmi les procédures envisagées dans l'analyse de la tâche. En fait, l'analyse a posteriori a montré qu'une procédure de type algébrique ne se retrouve que dans deux copies de cat.6 et dans quatre de cat.7, dans deux d'entre elles il est clair que "l'outil équation" est connu des élèves (dans l'une des copies il est explicitement écrit qu'il a été utilisé; l'inconnu y est définie explicitement, les relations correctement traduites sous forme symbolique, l'équation bien posée et résolue en utilisant les principes d'équivalence).

Les erreurs qui ressortent de l’analyse des documents sont essentiellement de deux types : - incompréhension du problème : opérations effectuées « au hasard » et, souvent, manque de contrôle des résultats obtenus qui conduisent à accepter des résultats clairement absurdes comme nombres décimaux pour quantifier les têtes possédées par les dragons ; - oubli ou mauvaise interprétation d'une ou plusieurs conditions.

Il ne semble cependant pas y avoir d’erreurs révélatrices d’obstacles particuliers.

Exploitations didactiques

La richesse des observations issues de l’examen des articles ouvre la voie à des usages pédagogiques.

De l'analyse a posteriori ressortent les particularités du problème, c'est-à-dire la possibilité de le résoudre, et de nombreuses manières, en restant dans le domaine arithmétique, mais aussi son caractère algébrique qui peut ouvrir la voie aux premières formes d'écritures spontanées qui préfigurent l'idée d'équation (il peut donc être inclus parmi les problèmes de la famille De l'arithmétique à l'algèbre ).

De plus, compte tenu de l'intérêt suscité chez les étlèves, des bons taux de réussite constatés, de la diversité des procédures de résolution mises en œuvre et de la portée numérique impliquée (nombres naturels), on peut supposer que, si le problème est proposé aux élèves d'une classe entière, répartis en groupes, afin qu'ils travaillent de manière autonome sans l'intervention de l'enseignant, différentes procédures peuvent apparaitre qui permettront une mise en commun et des discussions intéressantes sur divers aspects allant de la compréhension et de la représentation des données relationnelles présentes dans l'énoncé à la comparaison des stratégies de résolution, arithmétique ou même algébrique, et leur efficacité, ainsi qu'une réflexion sur les éventuelles erreurs apparues.

Cependant, on a également constaté que les difficultés rencontrées étaient principalement dues à une mauvaise interprétation, et donc à une mauvaise gestion, d'une ou plusieurs informations exprimées en termes relationnels dans le texte de l'énoncé.

On pense donc qu'une première indication pour le travail en classe, en particulier dans les catégories inférieures, pourrait être de consacrer un espace à la phase d'appropriation des tâches, en encourageant la discussion et la comparaison entre les élèves sur la lecture et la compréhension du texte. On peut alors s'intéresser aux relations présentes dans le texte lui-même, en invitant les élèves à les exprimer de différentes manières aussi bien en langage naturel qu'en utilisant d'autres registres représentatifs, par exemple de type graphique ou symbolique, et passer de l'un à l'autre, en discutant et en comparant leur exactitude. À cet égard, les copies examinées montrent une variété intéressante de textes qui témoignent, dans plusieurs cas, de la difficulté des élèves à traduire des données relationnelles du langage naturel au langage symbolique et formel.

La situation décrite dans le problème se prête à des représentations par écrit qui résument les relations en jeu et qui préparent le terrain à l'idée d'équation. De telles écritures peuvent provenir directement des élèves ou, ultérieurement, lors de la phase de comparaison et de discussion, grâce aux suggestions appropriées de l'enseignant. Ce problème des Dragons pourrait donc être utilisé en catégorie 8 (ou même en catégorie.9) comme vérification initiale ou dans un contexte d'initiation au calcul algébrique pour une utilisation judicieuse des lettres et des symboles.

Pour plus d’informations, se référer à l’article cité dans la bibliographie.

l.d et l.s.

Bibliographie

Gruppo Algebra - I Draghi - La Gazzetta di Transalpino, n. 12, 2022, Sezione Approfondimenti pp. 9 - 23