Banca di problemi del RMT
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Risolvere, nell’insieme dei numeri naturali, un sistema “elementare” di tre equazioni lineari in tre incognite in un contesto immaginario di teste di draghi.
Appropriazione del compito
- Capire che i numeri delle teste di ogni drago non sono noti ma che, dalla prima condizione, si conosce la differenza, 5, tra i numeri delle teste del drago rosso e di quello verde, mentre dalla seconda condizione non solo è nota la differenza, 4, tra il numero delle teste del drago giallo e di quello verde, ma anche la loro somma, 28.
- Dedurre quindi che il drago rosso ha meno teste di tutti, mentre il drago giallo ne ha il maggior numero e, di conseguenza, che l’ordinamento, in senso crescente, rispetto al numero di teste dei tre draghi è: drago rosso, drago verde, drago giallo.
- Per determinare il numero di teste di ciascun drago si può procedere in più modi.
- Cominciare a cercare il numero di teste dei draghi verde e giallo. Procedere per tentativi, partendo per esempio da 6 teste per il drago verde, e quindi 10 per il drago giallo, verificare che il totale (6 + 10) = 16 è diverso da 28 e proseguire con i tentativi, eventualmente organizzandoli (per esempio con una tabella), fino a trovare 12 teste per il drago verde e 16 per il giallo (12 + 16) = 28. Rendersi conto che i tentativi successivi “s’allontanano” da 28 e dunque che la soluzione è unica.
Oppure,
Procedere per deduzione, aiutandosi eventualmente con uno schema, sottraendo 4 da 28 per ottenere due numeri uguali la cui somma è 24, cioè 12 e 12, poi addizionare 4 ad uno di essi e trovare 16 e 12.
- Utilizzare la prima condizione che dice che il drago rosso ha 5 teste in meno del drago verde. Sapendo che il numero di teste del drago verde è 12, calcolare il numero di teste del drago rosso: 12 – 5 = 7.
- Concludere che il drago rosso ha 7 teste, il drago verde ha 12 teste e il drago giallo ne ha 16.
Oppure,
- Dedurre dalla seconda condizione che il totale 28 comprende due volte il numero di teste del drago verde aumentato delle quattro che il drago giallo ha in più. Cercare quindi, per tentativi o con ragionamento aritmetico, o con l’aiuto di una rappresentazione grafica, il numero tale che il suo doppio aumentato di 4 dia 28 e capire che questo è il numero di teste del drago verde.
- Trovare quindi il numero di teste del drago rosso sfruttando la prima condizione:12– 5 = 7.
Relazioni, incognite, numeri naturali, addizione, sottrazione, moltiplicazione, equazione
Punteggi attribuiti su 3411 classi di 20 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 101 (11%) | 78 (8%) | 125 (13%) | 242 (26%) | 382 (41%) | 928 | 2.78 |
| Cat 6 | 209 (15%) | 133 (10%) | 158 (11%) | 302 (22%) | 580 (42%) | 1382 | 2.66 |
| Cat 7 | 99 (9%) | 57 (5%) | 72 (7%) | 225 (20%) | 648 (59%) | 1101 | 3.15 |
| Totale | 409 (12%) | 268 (8%) | 355 (10%) | 769 (23%) | 1610 (47%) | 3411 | 2.85 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Le osservazioni che seguono sono ricavate dall’analisi a posteriori di 926 elaborati delle sezioni di Belluno (52 elaborati), Cagliari (69 elaborati), Puglia (197 elaborati) e Siena (608 elaborati), così divisi per categoria: 217 elaborati di cat.5, 363 elaborati di cat.6, 346 elaborati di cat.7. L’esiguo numero di elaborati consegnati in bianco in ogni categoria e le spiegazioni dettagliate dei ragionamenti e dei calcoli effettuati, mostra che il problema è risultato accessibile agli allievi che si sono impegnati nella sua risoluzione.
Le procedure corrette più utilizzate in tutte le categorie sono quella “per tentativi” (prevalente in Cat.5) e quella “per deduzione” (frequentemente applicata nelle categorie più alte), basata sul togliere 4 (differenza di teste tra i draghi giallo e verde) da 28 e dividere il risultato per 2 per trovare il numero 12 delle teste del drago verde (da qui si continua, applicando le relazioni indicate nel testo per ottenere il numero di teste degli altri due draghi).
In alcuni elaborati di cat.6 e cat.7 è presente anche una corretta rappresentazione grafica delle relazioni in gioco, spesso tramite “segmenti”, che facilita la risoluzione del problema.
Negli elaborati esaminati sono state riscontrate anche le seguenti procedure non previste nell’Analisi a priori:
Negli elaborati esaminati sono state riscontrate anche le seguenti procedure non previste nell’Analisi a priori:
a) Comprendere che, se R, V, G indicano i numeri delle teste dei tre draghi, si ha anche V+G = 28 = R+5+R+5+4 e che quindi R = (28-14):2=7 e poi trovare V e G. Questa procedura compare in alcuni elaborati della sezione di Siena di tutte e tre le categorie (3 elaborati in cat.5, 12 elaborati in cat.6 e 3 elaborati in cat.7), sempre accompagnata, ad eccezione che in un elaborato, da un’opportuna rappresentazione grafica che la giustifica.
b) Dividere la somma 28 per 2 e aggiungere e togliere 2 al risultato ottenuto per trovare il numero di teste del drago giallo e di quello verde - Questa procedura è presente in molti elaborati di tutte e tre le categorie, con una percentuale maggiore in cat.5.
c) Impostare e risolvere un’equazione -Tenuto conto delle categorie alle quali il problema è rivolto, nell’Analisi a priori il riferimento ad una procedura algebrica compare solo nella descrizione del Compito matematico e non fra le procedure previste nell’Analisi del compito. In effetti, l’analisi a posteriori ha mostrato che una procedura di tipo algebrico si trova solo in due elaborati di cat.6 e in quattro elaborati di cat.7, in due dei quali è evidente che lo “strumento” equazioni è noto agli allievi (in uno degli elaborati si scrive esplicitamente che è stato utilizzato e vi compaiono la nominalizzazione dell’incognita, le relazioni tradotte correttamente in forma simbolica, l’equazione ben impostata e risolta utilizzando i principi di equivalenza).
Gli errori che emergono dall’analisi degli elaborati sono essenzialmente di due tipi:
Non sembra invece ci siano errori che rivelano particolari ostacoli.
La ricchezza delle osservazioni derivanti dall’esame degli elaborati, apre la strada a più utilizzazioni didattiche.
Dall’analisi a posteriori emergono le peculiarità del problema, ovvero la possibilità di risolverlo, e in più modi, rimanendo in ambito aritmetico, ma anche la sua natura algebrica che può aprire la strada alle prime forme di scritture spontanee che prefigurano l’idea di equazione (si può quindi far rientrare fra problemi della famiglia Dall’Aritmetica all’Algebra).
Tenuto inoltre conto dell’interesse suscitato negli allievi, delle buone percentuali di riuscita riscontrate, della diversità di procedure risolutive messe in atto e dell’ambito numerico coinvolto (numeri naturali), si può supporre che, se il problema è proposto agli allievi di una intera classe, divisi in gruppi, in modo che lavorino in autonomia senza intervento dell'insegnante, possano essere utilizzate procedure diverse che potranno consentire messe in comune e discussioni interessanti su vari aspetti che vanno dalla comprensione e rappresentazione dei dati relazionali presenti nel testo, al confronto delle strategie risolutive emerse, aritmetiche o anche di tipo algebrico, e alla loro efficacia, oltre ad una riflessione su possibili errori emersi.
Si è però anche rilevato che, laddove ci sono state difficoltà, queste sono dovute principalmente ad una non corretta interpretazione, e quindi gestione, di una o più delle informazioni espresse in termini relazionali, presenti nel testo.
Si ritiene, pertanto, che una prima indicazione per il lavoro in classe, in particolare nelle categorie più basse, possa essere quella di dedicare spazio alla fase di appropriazione del compito, sollecitando la discussione ed il confronto tra gli allievi sulla lettura e comprensione del testo. Ci si potrà poi soffermare sulle relazioni presenti nel testo stesso, invitando gli allievi ad esprimerle in modi diversi sia nel linguaggio naturale, sia utilizzando altri registri rappresentativi, per es. di tipo grafico o simbolico, e passare dall’uno all’altro, discutendo e confrontandosi sulla loro correttezza. A tale proposito, gli elaborati esaminati riportano un’interessante varietà di scritture che testimoniano, in più casi, la difficoltà degli allievi nel tradurre i dati relazionali passando dal linguaggio naturale a quello simbolico e formale.
La situazione descritta nel problema può prestarsi ad essere rappresentata ricorrendo a scritture generali che sintetizzano le relazioni in gioco e che preparano il terreno all’idea di equazione. Una tale rappresentazione può nascere direttamente dagli allievi o, successivamente, nella fase di confronto e discussione, grazie agli opportuni rilanci dell’insegnante. Questo problema potrebbe, quindi, essere utilizzato in cat.8 (o, se necessario, anche in cat.9) come verifica iniziale o in un contesto di avvio al calcolo algebrico per un utilizzo sensato di lettere e simboli.
Per approfondimenti si rimanda all’articolo citato in bibliografia.
l.d e l.s.
Gruppo Algebra - I Draghi - La Gazzetta di Transalpino, n. 12, 2022, Sezione Approfondimenti pp. 9 - 23