Carrelage (I)

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Rallye: 18.II.08 ; catégories: 5, 6 ; domaine: PR
Familles:

• 4P - Rechercher la quatrième proportionnelle
• 4P/CU - Effectuer des conversions d’unités

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Résumé

Trouver les nombres de deux types de motifs disposés en damier, qui décorent un rectangle quadrillé (carellage) de 680 cm sur 440 cm et dont 7 rangs complets, de 11 carrés sur la largeur, sont visibles. (Après avoir déterminé le nombre de rangs dans la longueur).

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Vérifier l’affirmation du carreleur en dénombrant les carrés, percevoir les régularités dans la disposition des carreaux gris et blancs.

- Commencer à dessiner les carreaux à partir de ceux qui sont déjà dessinés, par rangs, par groupes ... puis se demander ou il faudra s’arrêter et comprendre que ce sera lorsque les 680 cm auront été atteints.

- Estimer visuellement la longueur du rectangle (éventuellement en reportant la largeur donnée : 440 cm ou 11 carrés, pour une première approximation et en reportant un peu plus que sa moitié) pour arriver à peu près à 680 cm de longueur ; ou faire un dessin à l’échelle.

- Comprendre qu’il y a une relation entre les 440 cm de la largeur, les 680 cm de la longueur et les nombres de carreaux correspondants, et qu’il s’agit de déterminer la longueur d’un côté de carreau (qui est la même dans les deux dimensions vu que ce sont des carrés) à partir de 440 cm et 11 carreaux comptés sur la largeur. 440 : 11 = 40 donne la longueur d’un côté, puis 680 : 40 = 17 donne le nombre de carreaux dans la longueur.

- Constater que les neuf rangs : 1 et 2, 5 et 6, 9 et 10, 13 et 14, et 17 ont 6 carreaux gris et 5 blancs, c’est-à-dire au total 54 gris et 45 blancs. Les huit autres rangs : 3 et 4, 7 et 8, 11 et 12, 15 et 16 ont 5 carreaux gris et 6 blancs, c’est- à-dire au total 40 gris et 48 blancs. Le carrelage est donc composé de 94 (54 + 40) carreaux gris et de 93 (45 + 48) carreaux blancs. Il y a donc un carreau gris de plus que de blancs.

Ou : dessiner le carrelage complet (sur une autre feuille ou en prolongeant légèrement la longueur du rectangle de l’énoncé pour lui permettre de contenir 17 rangs de carreaux) et compter les carreaux, par groupes de quatre constituant des carrés de même couleur.

Ou encore : remarquer visuellement que les quatre premiers rangs comportent autant de carreaux gris que de blancs et que ceci se répétera pour les rangs suivants regroupés par quatre jusqu’au 16e rang. Il suffit alors de compter les 2010 13 carreaux du 17e rang, identique au premier, et de constater qu’il contient 6 carreaux gris et 5 blancs, pour obtenir la réponse.

Il y a encore de nombreuses procédures de calcul ou de comptage, qui n’exigent pas toutes de connaître le nombre exact de carreaux gris et de blancs.

Notions mathématiques

multiplication, addition, rectangle, carré, unité de mesure, proportionnalité

Résultats

18.II.08

Points attribués sur 1777 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l'analyse a priori:

• 4 points: Réponse correcte et complète (un gris de plus que de blancs) avec une explication détaillée (sans contradiction ou erreur) de la manière dont elle a été trouvée (voir analyse de la tâche)
• 3 points: Réponse correcte et complète (un gris de plus que de blancs) avec une démarche peu claire ou incomplète ou réponse partielle (plus de gris que de blancs) avec une explication détaillée
• 2 points: Réponse correcte et complète (un gris de plus que de blancs) sans aucune explication
  ou réponse partielle (plus de gris que de blancs) avec une démarche peu claire ou incomplète
  ou réponse incorrecte (plus de blancs que de gris ou le même nombre de blancs que de gris) avec une justification cohérente, mais due à une erreur de calcul ou de comptage
• 1 point: Réponse partielle (plus de gris que de blancs), sans aucune explication
  ou réponse incorrecte avec deux erreurs de calcul ou de comptage, mais avec une explication cohérente
• 0 Réponse (le même nombre de blancs que de gris) basée sur la généralisation de l’affirmation du carreleur
  ou incompréhension du problème.