Banque de problèmes du RMT
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Trouver les nombres de deux types de motifs disposés en damier, qui décorent un rectangle quadrillé (carellage) de 684 cm sur 444 cm et dont 7 rangs complets, de 37 carrés sur la largeur, sont visibles. (Après avoir déterminé le nombre de rangs dans la longueur).
Analyse a priori
- Vérifier l’affirmation du carreleur en dénombrant les carrés, percevoir les régularités dans la disposition des carreaux gris et blancs.
- Se rendre compte qu’on n’arrivera pas à dessiner tous les carreaux car il y en a trop et, éventuellement, essayer de les dessiner par groupes de quatre carrés de même couleur. - Estimer visuellement la longueur du rectangle (éventuellement en reportant la largeur donnée : 444 cm ou 37 carrés, pour une première approximation et en reportant un peu plus que sa moitié) pour arriver à peu près à 684 cm de longueur ; ou faire un dessin à l’échelle.
- Comprendre qu’il y a une relation entre les 444 cm de la largeur, les 684 cm de la longueur et les nombres de carreaux correspondants, et qu’il s’agit de déterminer la longueur d’un côté de carreau (qui est la même dans les deux dimensions) à partir de 444 cm et 37 carreaux comptés sur la largeur. 444 : 37 = 12 donne la longueur d’un côté, puis 684 : 12 = 57 donne le nombre de carreaux dans la longueur.
- Calculer le nombre de carreaux de chaque couleur dans le rectangle rang par rang, ou par groupes de quatre ou encore par d’autres méthodes, en tenant compte des irrégularités dues aux nombres impairs.
Par exemple : considérer que dans un rectangle de 36 × 56 = 2016 carreaux, on a 1008 blancs et 1008 gris puis compter les carreaux de la 37e ligne (28 blancs et 29 gris) puis ceux qui restent dans la 57e colonne (18 blancs et 18 gris) pour arriver à un total de 1008 + 28 + 18 = 1054 blancs et 1008 + 29 + 18 = 1055 gris et à la réponse : un carré gris de plus que de carrés blanc.
On peut aussi se convaincre que le nombre des blancs ne peut être égal au nombre des gris pour des raisons de parité : 37 × 57 = 2109 étant un nombre impair. Le nombre de colonnes (57) étant impair, la dernière ligne du carrelage à l’extrémité droite de la pièce se terminera comme sur le dessin donné par 2 gris et 1 blanc, le reste étant constitué par autant de carreaux gris que de blancs. Il y aura donc un carreau gris de plus que de blancs.
Il y a encore de nombreuses procédures de calcul ou de comptage, qui n’exigent pas toutes de connaître le nombre exact de carreaux gris et de blancs.
multiplication, addition, rectangle, carré, unité de mesure, proportionnalité
Points attribués sur 1273 classes de 21 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 390 (57%) | 96 (14%) | 69 (10%) | 74 (11%) | 57 (8%) | 686 | 1 |
| Cat 8 | 219 (49%) | 58 (13%) | 43 (10%) | 56 (12%) | 73 (16%) | 449 | 1.35 |
| Cat 9 | 56 (41%) | 22 (16%) | 15 (11%) | 25 (18%) | 20 (14%) | 138 | 1.5 |
| Total | 665 (52%) | 176 (14%) | 127 (10%) | 155 (12%) | 150 (12%) | 1273 | 1.17 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
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