Banque de problèmes du RMT
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Décomposer 28 en deux nombres proportionnels à 18 et 24, dans un contexte de paquets de biscuits à partager entre deux classes.
Après avoir compris que la répartition des 28 paquets en 14 | 14 ne convient, trouver un critère pour un partage « équitable ».
Envisager éventuellement de prendre en compte la différence entre les nombres d’élèves 24 – 18 = 6. La procédure la plus naturelle est alors de la reproduire sur les nombres de paquets et de chercher deux nombres dont la somme est 28 et la différence 6, par essais ou en partant de 14, la moitié de 28, et d’y ajouter et retrancher 3, respectivement, ce qui conduit au partage 17 et 11. (Écarter l’idée d’ajouter et retrancher 6, ce qui conduirait au partage 20 et 8, avec une différence de 12).
Envisager « équitable » du point de vue individuel comme une « égalité de quantité de biscuits par enfant ». Percevoir alors les deux grandeurs, le « nombres d’enfants » dont on connaît deux valeurs, 18 et 24 et le « nombres de biscuits » dont on ne connaît que la valeur 28 et penser à faire correspondre ce « total des biscuits » au « total des enfants », 42 (24 + 18). A partir de la correspondance entre 42 et 28, calculer le facteur « nombre de paquets par enfant » ; 28/42 = 2/3 ≈ 0,66… puis l’appliquer à 18 et 24 pour trouver la répartition 12 (18 x 2/3) et 16 (24 x 2/3). (Lorsqu’on divise le grand nombre par le petit, le rapport est 1,5 (42 : 28) et représente le « nombre d’enfants par paquet ». Ce nombre est plus familier mais exigera des divisions lors de son application à 18 et 24.
Les savoirs sur la division, la multiplication, les fractions ou les écritures décimales illimités interviennent dans la détermination du facteur et dans les opérations. La notion-clé est celle de rapport ou nombre rationnel.
Au cas où le concept de proportionnalité ou de fonction linéaire est déjà construit, le partage peut être déterminé sans passer obligatoirement par le facteur 2/3 issu de 28/ 42, en faisant appel aux propriétés de linéarité, au calcul littéral ou à des algorithmes de recherche de « quatrième proportionnelle ».
proportionnalité, rapport, nombre rationnel
Sur 2036 classes (21 sections) ayant participé à la deuxième épreuve du 18e RMT, les points attribués sont les suivants:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 173 (35%) | 187 (37%) | 45 (9%) | 36 (7%) | 59 (12%) | 500 | 1.24 |
| Cat 6 | 281 (33%) | 317 (37%) | 85 (10%) | 44 (5%) | 122 (14%) | 849 | 1.3 |
| Cat 7 | 156 (23%) | 170 (25%) | 34 (5%) | 64 (9%) | 263 (38%) | 687 | 2.16 |
| Total | 610 (30%) | 674 (33%) | 164 (8%) | 144 (7%) | 444 (22%) | 2036 | 1.58 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Les procédures les plus fréquentes en catégories 5 et 6, relevées environ dans le tiers des copies, conduisent à la répartition 11 / 17, qui conserve la différence de 6 entre les nombres d’élèves des deux classes.
D’autres répartition des 28 paquets se basent sur des justifications additives ou soustractives, par compensations, en nombres entiers dans la majorité des cas (13 / 15 ; 10 / 18 ; 12,5 / 15,5 ; )
La répartition exacte (12 / 16) apparaît aussi parfois avec des procédures additives.
Exemple : (Division par 2 d’une file de 28 carrés)
Classe de Jeanne: 18 élèves <—> 14 paquets: restent 4 élèves sans paquets 14 – 2 = 12, 6 élèves. sans paquets Classe de Patrizio: 24 élèves <—> 14 paquets : restent 10 élèves sans paquets 14 + 2 = 16, 8 élèves. sans paquets
Après un premier partage en deux parties égales conduisant à 14 paquets à chaque classe, on détermine le nombre d’« élèves sans paquets » dans chaque classe, respectivement 4 et 10 ; on imagine une compensation de 2 élèves sans paquets de la première classe vers la seconde.
Les procédures prenant en compte les rapports des nombres sont de deux types : celles qui passent par le calcul de la somme des élèves des deux classes 42 = 18 + 24 et mettent en relation 42 élèves et 28 paquets, celles qui passent par le rapport entre les deux nombres d’élèves 18 et 24 et répartissent les 28 paquets dans ce rapport.
Dans la procédure calculant le rapport de 28 à 42, le facteur se réduit à 3/2 ou 2/3. Les difficultés apparaissent dans l’écriture décimale illimitée de 2/3 : 0, 6666 … et la multiplication par une de ses estimations, qui conduit parfois à des répartitions comme 11,9998 / 16, 0002. Une autre confusion vient de l’interprétation du facteur comme 1,5 paquet par élève (au lieu de 1,5 élève par paquet, qui conduit parfois à des répartitions erronée 27 / 36 (19 x 1,5 / 24 x 1,5)
Le problème ne peut être exploité didactiquement que pour des classes de degrés supérieurs à 5, dès que les élèves sont en mesure de rejeter les procédures additives pour adopter des procédures multiplicatives, c’est-à-dire au moment où ils sont capables de construire le concept de rapport ou nombre rationnel.
Les explications des élèves permettent d’évaluer leur maîtrise des différentes écritures de nombres non entiers, fractionnaire ou décimale périodique et de leur usage dans les calculs.
C’est une occasion de montrer l’utilité du calcul avec des fractions pour surmonter les inconvénients dus aux écritures décimales illimitées et aux délicats problèmes d’approximation qu’elles exigent.
La très grandes variété des procédures de résolution peut être exploitée intensément pour mettre en évidence les propriétés de suites proportionnalité : rapport constant (facteur de linéarité) entre deux termes correspondants d’une suite et de l’autre, rapports internes entre deux nombres d’une suite conservé entre les deux nombres correspondants de l’autre suite.
On peut inventer facilement des variables de ce problème de partage proportionnel pour vérifier le niveau de maîtrise du concept de proportionnalité mis en œuvre dans ces situations.
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