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Banque de problèmes du RMTpr13-fr |
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Comparer des arcs de cercle et utiliser la propriété que leurs longueurs sont proportionnelles à leur rayon.
Analyse a priori
- Remarquer que le circuit est formé de parties droites et d’une succession de quarts de cercles de différents rayons.
- Comprendre qu’en prenant comme unité le côté d’un carré du quadrillage, les rayons de ces cercles mesurent 1, 2 ou 3 unités. On peut alors faire le comptage des arcs de cercle de ces différents rayons :
- Comprendre que la longueur d’un quart de cercle, de même que celle de la circonférence, est proportionnelle à son rayon. Cela permet de rapporter à la longueur d’un quart de cercle de rayon 1 l’ensemble des parties courbes du circuit.
- Par exemple, pour le trajet de Luigi dans le sens horaire, on a 6 côtés de carré unité et le comptage des parties courbes du donne 5 arcs de rayon 1, 5 arcs de rayon 2 et 2 arcs de rayon 3, ce qui fait une longueur égale à 5 + 5×2 + 2×3 = 21 quarts de cercle de rayon 1.
- Pour le trajet de Enrico, dans le sens contraire, on a également 6 côtés de carré unité et 3 arcs de rayon 1, 7 arcs de rayon 2 et 2 arcs de rayon 3, ce qui fait une longueur égale à 3 + 7×2 + 2×3 = 23 quarts de cercle de rayon 1.
- Conclure que Luigi arrivera le premier.
Ou, sans proportionnalité : remarquer que les deux amis ont chacun 6 côtés de carré unité et 2 quarts de cercle de rayon 3 en commun, il reste à calculer les longueurs à parcourir restantes.
- Pour Luigi, 5×2π/4 + 5×4π/4 = 15π/2
- Pour Enrico, 3×2π/4 + 7×4π/4 = 17π/2
- Conclure que Luigi a le trajet le plus court, il arrivera le premier.
cercle, rayon, arc de cercle
Points attribués sur 703 classes de 21 sections:
Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Cat 8 | 121 (27%) | 164 (36%) | 64 (14%) | 43 (10%) | 58 (13%) | 450 | 1.45 |
Cat 9 | 50 (35%) | 43 (30%) | 17 (12%) | 16 (11%) | 18 (13%) | 144 | 1.37 |
Cat 10 | 26 (24%) | 30 (28%) | 18 (17%) | 15 (14%) | 20 (18%) | 109 | 1.75 |
Total | 197 (28%) | 237 (34%) | 99 (14%) | 74 (11%) | 96 (14%) | 703 | 1.48 |
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. |
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