Le kartodrome

Identification

Rallye: 18.II.17 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaine: PR
Familles:

• 4P - Rechercher la quatrième proportionnelle
• 4P/IR - Utiliser des nombres irrationnels

Remarque et suggestion

Résumé

Comparer des arcs de cercle et utiliser la propriété que leurs longueurs sont proportionnelles à leur rayon.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Remarquer que le circuit est formé de parties droites et d’une succession de quarts de cercles de différents rayons.

- Comprendre qu’en prenant comme unité le côté d’un carré du quadrillage, les rayons de ces cercles mesurent 1, 2 ou 3 unités. On peut alors faire le comptage des arcs de cercle de ces différents rayons :

- Comprendre que la longueur d’un quart de cercle, de même que celle de la circonférence, est proportionnelle à son rayon. Cela permet de rapporter à la longueur d’un quart de cercle de rayon 1 l’ensemble des parties courbes du circuit.

- Par exemple, pour le trajet de Luigi dans le sens horaire, on a 6 côtés de carré unité et le comptage des parties courbes du donne 5 arcs de rayon 1, 5 arcs de rayon 2 et 2 arcs de rayon 3, ce qui fait une longueur égale à 5 + 5×2 + 2×3 = 21 quarts de cercle de rayon 1.

- Pour le trajet de Enrico, dans le sens contraire, on a également 6 côtés de carré unité et 3 arcs de rayon 1, 7 arcs de rayon 2 et 2 arcs de rayon 3, ce qui fait une longueur égale à 3 + 7×2 + 2×3 = 23 quarts de cercle de rayon 1.

- Conclure que Luigi arrivera le premier.

Ou, sans proportionnalité : remarquer que les deux amis ont chacun 6 côtés de carré unité et 2 quarts de cercle de rayon 3 en commun, il reste à calculer les longueurs à parcourir restantes.

- Pour Luigi, 5×2π/4 + 5×4π/4 = 15π/2

- Pour Enrico, 3×2π/4 + 7×4π/4 = 17π/2

- Conclure que Luigi a le trajet le plus court, il arrivera le premier.

Notions mathématiques

cercle, rayon, arc de cercle

Résultats

18.II.17

Points attribués sur 703 classes de 21 sections:

Selon les critères de l'analyse a priori:

• 4 points: Réponse correcte (Luigi, dans le sens horaire), avec des explications complètes.
• 3 points: Réponse correcte mais avec des explications peu claires.
• 2 points: Procédure correcte : indication des quarts de cercle de différents rayons, mais erreur de comptage, ou indications et comptages justes mais sans pouvoir comparer les longueurs des deux trajets.
• 1 point: Début de recherche cohérente ou réponse juste (Luigi) sans justification.
• 0 point: Incompréhension du problème.

(c) ARMT, 2010-2024