Les plaques magnétiques

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Rallye: 20.I.17 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaine: PR
Familles:

• 4P - Rechercher la quatrième proportionnelle
• 4P/SIM - Traiter des similitudes et des homothéties (Thalès)

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Résumé

Des figures semblables de trois grandeurs sont dessinées, dont on connaît une des dimensions (la hauteur) pour chacune des trois grandeurs. Connaissant l’aire des petites, calculer l’aire des autres.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre que la masse des plaques est proportionnelle à leur aire, puisqu’elles sont découpées dans la même feuille (d’épaisseur constante) et que les figures sont semblables, ce qui signifie que le rapport de deux longueurs correspondantes est le même, quelle que soit la direction (et qu’il n’est donc pas nécessaire d’attribuer des mesures aux côtés des triangles parallèles à la longueur de la feuille dans laquelle sont découpées les plaques).

- Calculer la masse d’un modèle MINI : 216 : 4 = 54 (en grammes).

- Calculer le rapport de proportionnalité : 60/30 = 2 entre un modèle MAXI et un modèle MINI.

- Calculer le rapport des aires des deux figures : de manière « experte » : 22 = 4, ou l’observer sur le dessin en imaginant qu’un modèle MINI est inscrit dans un rectangle qui est le quart d’un rectangle dans lequel est inscrit un modèle MAXI ; ou, en se rappelant que l’aire d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent a et b est ab/2, calculer que l’aire du triangle rectangle agrandi dans un rapport de longueurs r est r2ab/2 et en déduire que le rapport des aires de ces deux triangles est r².

- Calculer la masse d’un modèle MAXI : 54 x 4 = 216 (en grammes) et la masse des 3 plaques: 216 x 3 = 648 (en grammes).

- De même, calculer le rapport entre les hauteurs MIDI/MINI, 48:30 = 1,6 et celui de leurs aires 1,62 = 2,56, puis la masse d’un modèle MIDI : 54 x 2,56 = 138,24 (en grammes) et la masse des quatre plaques: 138,24 x 4 = 552,96 ≈ 553 (au gramme près).

- Additionner alors les masses des sept plaques : 648 + 552,96 = 1200,96 ≈ 1201 (en grammes)

Une erreur attendue consiste à considérer que les masses des plaques sont proportionnelles à leurs hauteurs (et non à leurs aires), ce qui conduit aux masses des modèles MAXI et MIDI respectivement de 108 = 54 x 2 et de 86,4 = 54 x 1,6 et à la masse des sept pièces (3 x 108) + (4 x 86,4) = 669,6.

Notions mathématiques

calcul d’aires

Résultats

20.I.17

Résultats sur 823 classes de 22 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: La réponse juste 1201 grammes (ou 1200,96) avec explications (calcul des masses de chaque modèle)
• 3 points: La réponse juste 1201 grammes avec explications peu claires
  ou une seule erreur de calcul (dans l’un des rapports 60/30 = 2 et 48/30 = 1,6)
  ou dans l’élévation au carré, …
  ou encore une réponse approchée au cas
  ou les rapports des aires ont été estimés à 2 et 1,5
• 2 points: Réponse correcte sans aucune explication
  ou réponse due à une erreur de comptage des plaques (mais avec les masses de chaque type de plaque correctes)
  ou réponse très approximative due à des attributions de mesures non proportionnelles aux côtés parallèles à la longueur de la feuille dans laquelle sont découpées les plaques
• 1 point: Début de raisonnement correct
  ou la réponse 669,6 (grammes), avec confusion à propos de la proportionnalité (entre longueurs et masses, et non entre aires et masses)
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Une très faible minorité arrive à la réponse correcte. La majorité commet l’erreur attendue : considérer que les aires de figures semblables sont proportionnelles à une de leur dimension (56%).

Ce problème était une variante d’un ancien problème où l’on avait déjà mis en évidence cette erreur. La nouvelle version, où apparaît clairement l’espace occupé par les figures (triangles) et où les rapports des aires sont bien visibles, n’a pas apporté d’amélioration : le piège d’une proportionnalité appliquée mécaniquement fonctionne toujours !

L’analyse d’une centaine de copies (FC) donne cependant un échantillonnage riche des différentes procédures de résolution.

Bibliographie

Repris de Logos (13.F.17)