Banque de problèmes du RMT
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Parmi les trois couples (18;7), 20;8) et (25;10) trouver celui qui est le plus favorable à une certaine issue et chercher si deux d'entre eux sont équivalents par rapport à la même issue, dans un contexte de lancers francs au basket.
- Comprendre qu’il faut tenir compte à la fois des paniers réussis et des paniers manqués et qu’il faut choisir le type de relation adéquat entre ces deux grandeurs.
- Comprendre que les réussites dans ces « lancers francs » sont mesurées par des rapports ou des pourcentages et non des différences.
- Considérer les six nombres donnés, les organiser et les comparer :
jours I II III tirs réussis 18 20 25 tirs manqués 7 8 10
Sous cette forme il faut se demander quelle est la nature des opérations à envisager pour déterminer le jour où Luc a été le plus « adroit ».
Ce sont les écarts ou différences (relations additives) qui apparaissent le plus clairement dans ce tableau :
- par exemple, certains élèves observent les différences entre les deux ligne : 11, 12 et 15 et peuvent penser que c’est au troisième jour que Luc a été le plus adroit car c’est ce jour que l’écart est le plus grand (15 tirs déussis de plus que les tirs manqués).
- d’autres peuvent observer les différences entre les deux premiers jours et penser que Luc a été plus adroit le deuxième car il a 2 réussites de plus et seulement 1 tir manqué de plus.
La tâche du groupe est de débattre à propos de ces types de raisonnement pour se rendre compte de leur inadéquation.
- Comprendre que la réponse correcte consiste à comparer des rapport du type a / b (tirs réussis / tirs manqués) ou a / (a + b) (tirs réussis sur nombre total de tirs).
- Calculer que le premier jour Luc a une réussite de 18 paniers pour 7 tirs manqués (18/7 = 2,57), le deuxième jour 20 réussis pour 8 manqués (20/8 ≈ 2,5) et le troisième jour 25 réussis pour 10 manqués (25/10 = 2,5).
Ou bien, calculer que le premier jour Luc a une réussite de 18 paniers sur 25 (18/25 = 0,72), le deuxième jour 20 sur 28 (≈ 0,71) et le troisième jour 25 sur 35 (≈ 0,71).
- Conclure que Luc a été le plus adroit le premier jour et qu’il a eu la même adresse le deuxième et le troisième jour.
Les savoirs mobilisés concernent les nombres rationnels, leur écriture, leur comparaison, leurs approximations par des nombres décimaux et leur écriture sous forme de fraction.
arithmétique, division, proportionnalité, rapport, nombre rationnel, comparaison
Points attribués sur 1398 classes de 18 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 6 | 499 (70%) | 55 (8%) | 33 (5%) | 23 (3%) | 98 (14%) | 708 | 0.82 |
| Cat 7 | 217 (33%) | 59 (9%) | 53 (8%) | 57 (9%) | 264 (41%) | 650 | 2.14 |
| Total | 716 (53%) | 114 (8%) | 86 (6%) | 80 (6%) | 362 (27%) | 1358 | 1.45 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
On relève, comme dans tous les problèmes de cette famille, deux conceptions caractéristiques: l'une faisant appel aux rapports entre les données correspondantes (conception multiplicative), l'autre aux différences ou écarts (conception additive) . C'est évidemment la première de ces conceptions qui va permettre d'arriver à une réponse cohérente, l'autre étant inadéquate dans ce contexte de proportionnalité.
On relève aussi, en particulier en catégorie 6, des réponses qui ne font appel qu'à une seule des données : les 25 tirs réussis le troisième jour, pour conclure que "c'est ce jour-là que Luc a été le plus adroit; ou les 7 tirs manqués du premier jour pour arriver à la conclusion que c'est ce jour qu Luc a été le plus adroit.
Les résultats obtenus, selon l'attribution des points, correspondent à ceux des problèmes de cette famille de tâche où les rapports ne sont pas des nombres entiers. Ils font apparaître de manière évidente le passage de la conception additive à la conception multiplicative, situé très précisément entre les élèves de catégorie 6 (12 ans) et ceux de catégorie 7 (13 ans) en fin d'année scolaire.
Les premiers obtiennent une moyenne de 0,8 point avec 70 % de procédures fondées sur l'observation des écarts (caractéristiques de l'attribution "0 point") et environ 20% de réponses correctes; les seconds obtiennent une moyenne de 2,1 point, avec seulement un tiers de procédures additives et près de 50% de réponses correctes.
Le problème permet de diagnostiquer le passage d'une conception additive à une conception multiplicative caractéristique de la proportionnalité.
Il est très probable que les deux apparaissent au sein d'une même classe vers 12 à 13 ans. (D'après les observations d'autres problèmes de la même famille, la grande majorité des élèves de 11 à 12 ans adoptent des procédures additives et ne semblent pas encore être capables de passer à la prise en compte des rapports. v. pr6-fr - Les confitures/ pr6-it - Le marmellate)
La présence simultanée de deux conceptions en conflit est à exploiter en classe lors d'une mise en commun où chaque élève ou chaque groupe est appelé à justifier sa procédure et ses résultats.
Mais le passage n'est pas facile et il faut faire apparaître les contradictions de la conception additive, par exemple en poursuivant les deux suites et maintenant constants les écarts. Par exemple, lorsqu'on "descend" dans les suites et qu'on s'approche de 0 pour l'une d'entre elles on arrive une impasse.
Cependant, il faut être conscient que la conception multiplicative exige une maîtrise de la division et des différentes écriture d'un même quotient, sous forme décimale ou sous forme de fraction.
Articles du groupe "Proportionnalité" dans les actes des rencontres de l'ARMT
Henry, M., Jaquet, F. Une approche de la notion de probabilités. Gazette de Transalpie no 2
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