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Rallye: 21.F.16 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaine: PR
Familles:

• 4P - Rechercher la quatrième proportionnelle
• 4P/PC - Utiliser des pourcentages

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Résumé

Calculer le premier nombre d’une suite de quatre nombres, déterminée par deux augmentations successives de 2% et de 4%, suivie d’une diminution de 6% nombres, dont le quatrième nombre est 31161.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Comprendre qu’il y a trois transformations successives du nombre de participants : « augmenter de 4% », « augmenter de 2% », « diminuer de 6% », dont la dernière aboutit à 31161 et qu’une une méthode consiste à remonter dans le temps étape par étape, par les transformations inverses. (On peut aussi « composer » les trois transformations en une seule).

- La tâche de calcul dépend de la perception de chacune des transformations en opérations : soit on les envisage comme la succession d’une division par 100 pour trouver la valeur d’un « pour cent » , d’une multiplication par le nombre de « pour cent » puis par une addition ou une soustraction ; soit on les envisage comme une seule multiplication par un nombre non entier sous forme de fraction ou sous forme décimale. :

- Dans le cas où les additions et soustraction induites par les termes « augmenter » ou « diminuer » occultent les autres opérations, la tâche est très simple : 2 + 4 – 6 = 0 et conduit à la conclusion, erronée !!, que la transformation globale est l’identité et qu’il y avait aussi 31161 participants au 18e RMT.

- Dans le cas où la transformation est conçue comme une succession de multiplications/divisions et d’additions/soustractions, la tâche est longue et doit se répéter trois fois : établir les correspondances terme à terme de deux suites proportionnelles. Par exemple pour « diminuer de 6% », on peut imaginer la décomposition de 100 en 6 + 94 et établir une correspondance du genre :

  100    6    94    1
    ?    ?  31161   ?

pour trouver que 331,5 correspond à 1 et 33150 correspond à 100.

On trouve ainsi 33150 participants au 20e Rallye, 31875 au 19e Rallye et 31250 au 18e Rallye.

- Dans le cas où on considère les transformations, dans l’ordre chronologique, comme trois multiplications par 1,02. 1,04 et 0,94, (ou 102/100, 104/100 et 94/100) on arrive à la solution à partir de 31161 par trois divisions successives par 0,94, 1,04 et 1,02.

- Dans le cas où on sait que les trois multiplications se composent en une seule 1,02 x 1,04 x 0,94 = 0,997152, il suffit de diviser 31161 par ce facteur.

- Par algèbre, en désignant par x le nombre de participants au 18e Rallye, il suffit de résoudre l’équation 1,02 x 1,04 x 0,94x = 31161

Notions mathématiques

fraction, pourcentage, proportionnalité, équations du premier degré

Résultats

21.F.16

Points attribués sur 99 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (31250) avec des explications claires montrant tous les calculs
• 3 points: Réponse correcte mais sans explications claires
• 2 points: Réponse erronée due à une erreur de calcul,
  ou réponse intermédiaire correcte (par exemple seulement 33150 participants au 20e Rallye) avec le détail des calculs
• 1 point: Début de raisonnement correct
• 0 point: Incompréhension du problème ou réponse 31161