Banque de problèmes du RMT
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En considérant le rapport « parties gagnées / parties jouées » à partir de 6 sur 12, trouver le nombre de parties qu’il faut encore gagner pour de passer à 75%, à 80% puis à 90% de réussite, sans jamais perdre d’autre partie (que les 6 perdues dans la situation de départ).
Analyse de la tâche a priori:
- Comprendre que les pourcentages indiqués se réfèrent au rapport entre parties gagnées et parties jouées et que, cas après cas, les nombres des unes et des autres peuvent être déduits des rapports donnés.
- Comprendre que si Antoine gagne une partie, il augmente d’une unité le nombre des parties gagnées et celui des parties jouées et que la différence reste constante.
- Vérifier que lorsqu’Antoine a joué et gagné 3 autres parties il a 9 parties gagnées sur 15 partie jouées, ce qui correspond bien à 9/15 = 3/5 = 60/100 ou 60%. Vérifier ensuite qu’après 9 nouvelles parties gagnées, il atteint le rapport 18 parties gagnées sur 24 parties jouées ce qui correspond à 18/24 = 3/4 = 75/100 ou 75%.
- Pour déterminer le nombre de parties à gagner afin d’arriver à 80% on peut procéder par essais organisés en partant de la dernière proportion donnée par le texte 18/24 = 75/100, en ajoutant chaque fois 1 au nombre de parties jouées et gagnées et en écrivant et en calculant à chaque fois les rapports : (18 + 1)/(24 + 1) puis 20/26, 21/27, … jusqu’à 24/30 = 0,8 = 80%, et continuer ensuite jusqu’à 54/60 = 0,9 = 90%.
Ou, par voie algébrique : désigner par x le nombre de parties à gagner afin d’arriver à 80% et écrire le rapport : (18 + x)/(24 + x) = 80/100 qui conduit à x = 6, c’est-à-dire qu’à ce moment il a 24 parties gagnées sur 30 parties jouées. De la même manière on trouve qu’il atteint les 90% après avoir joué et gagné y parties : (24 + y)/(30 + y) = 90/100, qui conduit à y = 30.
- Conclure dans un cas comme dans l’autre, qu’Antoine devra encore jouer et gagner 6 parties pour arriver aux 80% et 30 autres parties pour arriver aux 90%.
rapport, fraction, pourcentage, proportion, fonction, suite, algèbre, équation
Points attribués, sur 923 copies de 20 sections
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 8 | 252 (40%) | 93 (15%) | 69 (11%) | 127 (20%) | 92 (15%) | 633 | 1.55 |
| Cat 9 | 49 (30%) | 15 (9%) | 22 (13%) | 45 (28%) | 32 (20%) | 163 | 1.98 |
| Cat 10 | 38 (30%) | 15 (12%) | 14 (11%) | 25 (20%) | 35 (28%) | 127 | 2.03 |
| Total | 339 (37%) | 123 (13%) | 105 (11%) | 197 (21%) | 159 (17%) | 923 | 1.69 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Sur une quarantaine de copies observées, (Section de Suisse romande, degré 8), les procédures les plus fréquentes sont par essais successifs. Les élèves comprennent que les pourcentages de réussite augmentent avec le nombre des parties gagnées et ils les calculent un à un jusqu’à arriver aux 80% et 90% demandés.
D’autres calculent les pourcentages à partir des 6 parties perdues, dont le nombre reste constant. Il suffit alors de rechercher les pourcentages complémentaires de 20% et 10% : 6 est les 2/10 de 30 et le 1/10 de 60. Ces deux nombres donnent le total des parties jouées.
Les procédures algébriques du genre (x – 6)/ x = 8/10 apparaissent dans quelques cas.
De nombreuses confusions subsistent sur la réponse à donner qui demande le nombre de « parties encore à jouer » et non le nombre de parties gagnés au total.
On entrevoit des exploitations intéressantes pour le passage d’une « expérimentation » un à un au traitement général par des fractions ou rapports, ou encore par voie algébrique.
(c) ARMT, 2014-2024