Banca di problemi del RMT
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Considerando il rapporto «partite vinte / partite giocate» a partire da 6 su 12, trovare il numero delle partite vinte che bisogna ancora vincere per passare dal 75 % al 80 % poi al 90% di vittorie, senza mai perdere altre partite (tranne le 6 perse in partenza).
(Analisi del compito a priori)
- Comprendere che le percentuali indicate si riferiscono al rapporto tra partite giocate e partite vinte e che di volta in volta il numero delle une e delle altre può essere ricavato dai rapporti dati.
- Comprendere che se Antonio vince una partita incrementa di una unità sia il numero delle partite vinte che quello delle partite giocate e che la differenza tra partite giocate e partite vinte rimane costante.
- Verificare che quando Antonio ha giocato e vinto altre 3 partite è arrivato a 9 partite vinte su 15 giocate, ciò che corrisponde a 9/15 = 3/5 = 60/100 o 60%. Verificare poi che dopo altre 9 partite vinte, egli raggiunge il rapporto 18 partite vinte su 24 partite giocate ciò che corrisponde a 18/24 = 3/4 = 75/100 o 75 %.
- Per determinare il numero delle partite da vincere per poter arrivare a 80 % si può procedere per tentativi organizzati partendo dall’ultima proporzione ricavata dal testo 18:24=75:100, aggiungendo ogni volta 1 alle partite giocate e vinte e scrivendone e calcolandone ogni volta i rapporti (18 + 1)/(24 + 1) poi 20/26, 21/27, … fino a 24/30 = 0,8 = 80%, e continuare in seguito fino a 54/60 = 0,9 = 90%.
Oppure: per via algebrica, designare con x il numero delle partite da vincere per poter arrivare a 80% e scrivere il rapporto: (18 + x)/(24 + x) = 80/100 che conduce a x = 6, il che vuol dire che a quel momento ha 24 partite vinte su 30 partite giocate. Nello stesso modo si trova che egli raggiunge il 90% dopo aver giocato e vinto y partite: (24 + y)/(30 + y) = 90/100, che porta a y = 30.
- Concludere in un caso come nell’altro, che Antonio dovrà ancora giocare e vincere 6 partite per raggiungere l’80% e 30 altre partite per raggiungere il 90%.
rapporto, frazione, percentuale, proporzione, funzione, successione, algebra, equazione
Punteggi attribuiti su 923 elaborati di 20 sezioni
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 8 | 252 (40%) | 93 (15%) | 69 (11%) | 127 (20%) | 92 (15%) | 633 | 1.55 |
| Cat 9 | 49 (30%) | 15 (9%) | 22 (13%) | 45 (28%) | 32 (20%) | 163 | 1.98 |
| Cat 10 | 38 (30%) | 15 (12%) | 14 (11%) | 25 (20%) | 35 (28%) | 127 | 2.03 |
| Totale | 339 (37%) | 123 (13%) | 105 (11%) | 197 (21%) | 159 (17%) | 923 | 1.69 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Su una quarantina di elaborati osservati (Sezione della Svizzera romanda, categoria 8), le procedure più frequenti sono quelle per tentativi successivi. Gli allievi capiscono che le percentuali di vincita aumentano con il numero delle partite vinte e le calcolano una ad una fino ad arrivare all’ 80% e 90% richieste.
Altri calcolano le percentuali a partire dalle partite perse, il cui numero resta costante. E’ allora sufficiente cercare le percentuali complementari di 20% e 10%: 6 è i 2/10 di 30 e 1/10 di 60. Questi due numeri danno il totale delle partite giocate.
Le procedure algebriche del genere (x – 6)/ x = 8/10 appaiono in qualche elaborato
Sussistono numerose confusioni sulla risposta da dare alla domanda relativa al numero di “partite ancora da giocare” e non il numero delle partite vinte in totale.
Si intravedono utilizzazioni interessanti nel caso del passaggio dalla ricerca “una ad una” al trattamento generale con frazioni o rapporti, o ancora per via algebrica.
(c) ARMT, 2014-2024