Banca di problemi del RMT
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Calcolare la durata di un lavoro (di 99 u) fatto da tre persone, ciascuna con una velocità (8 ; 6 ;4 u/h), e durata differenti (1; ½ ; ¼), in un contesto di raccolta di mele.
- Percepire e distinguere le tre grandezze in gioco e le loro unità, quantità di lavoro: 99 in «casse da riempire» ; durata del lavoro, in «ore»: tempo totale (domanda) durate di Giovanni, Teresa e Luca e loro rapporti 1, 1/2 e 1/4; velocità di riempimento 8, 6 e 4 in «casse all’ora».
- Capire che la durata totale della raccolta corrisponde alla durata del lavoro di Giovanni (lui ha lavorato tutto il tempo) e che le durate di T e L si piazzano nell’intervallo in cui Giovanni lavora.
- Per familiarizzarsi con queste grandezze e unità, si può fissare una durata e determinare la quantità di casse corrispondenti. Se, per esempio, Giovanni lavora 4 ore, riempie 32 casse; durante questo tempo Teresa lavora 2 ore e riempie 12 casse, Luca lavora 1 ora e riempie 4 casse; insieme riempiono 48 casse in 4 ore.
- Costruire una tabella di proporzionalità tra le durate e il numero di casse riempite per arrivare alla soluzione: 8 ore un quarto:
durate (in ore): 4 8 2 1 1/2 1/4 … 8 + 1/4 casse riempite: 48 96 24 12 6 3 … 99
- Le corrispondenze sopra riportate utilizzano «per approssimazioni successive» le proprietà della proporzionalità; si potrebbe passare più rapidamente all’unità (1 ;12) o direttamente a (t ; 99) mediante la ricerca del « quarto proporzionale ».
(Si potrebbero anche aggiungere linee con le durate ed il lavoro di Teresa e Luca o utilizzare le scritture decimali per le mezze ore ed i quarti d'ora.)
Oppure, determinare la velocità di lavoro di tre persone insieme 8 + 6 × 1/2 + 4 × 1/4 = 8 + 3 + 1 = 12 (casse per ora di lavoro comune), poi risolvere l’equazione 99 = 12 × t, che diventa t = 99/12 = 33/4 = 8,25 o 8 ore e 15 minuti.
veda Scatole di penne (30.II.16)
unità, durata, frazioni, numeri razionali, proporzionalità, rapporto, denominatore comune, addizione, moltiplicazione, divisione, cadenza, equazione, algebra, velocità
Punteggi attribuiti, su 291 elaborati di 10 sezioni
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 9 | 74 (45%) | 23 (14%) | 22 (13%) | 25 (15%) | 20 (12%) | 164 | 1.35 |
| Cat 10 | 48 (38%) | 5 (4%) | 8 (6%) | 19 (15%) | 47 (37%) | 127 | 2.09 |
| Totale | 122 (42%) | 28 (10%) | 30 (10%) | 44 (15%) | 67 (23%) | 291 | 1.68 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Secondo i criteri dell’analisi a priori:
L’analisi degli elaborati ha mostrato l’applicazione di diverse procedure :
P1: procedura per tentativi più o meno organizzati
P2: procedura aritmetica: vengono individuate in un primo tempo le 8 ore come tempo necessario per riempire 96 cassette; in seguito viene stabilita la frazione di ora necessaria per le restanti 3 cassette. Si tratterebbe di 2 cassette per G, 0,75 per T e 0,25 per L; in un caso si è approssimato a 2, 1, 0 ottenendo comunque la soluzione corretta.
P3: procedura aritmetica con uso implicito dell’incognita (MI09002); è presente l’identificazione di una variabile ma non si procede poi alla messa in equazione e si ottiene la soluzione per tentativi.
P4: messa in equazione e risoluzione dell’equazione di primo grado. E’ la procedura più esperta che conduce rapidamente alla soluzione.
Si riscontrano negli elaborati diversi tipi di errori.
R1: viene effettuata l’operazione 99:18 con risultato 5,50. Questo deriva dalla mancata considerazione dei diversi tempi di lavoro.
R2: il tempo 5,50 (vedi R1) viene poi suddiviso in parti proporzionali a 1, 2, 4 per L, T, G.
R3: la risposta è solo parzialmente corretta, viene individuato correttamente il tempo 8 ore ma non il numero dei minuti (risposte del tipo “8 e qualcosa”, “8.20”, “8.16”). Osserviamo che il tempo 15 minuti non è facilmente divisibile per 2 e per 4.
R4: viene individuata correttamente la risposta 8,25 ma non effettuata la conversione in ore e minuti: da 8,25 si passa a 8h e 25 min
Si rileva l’utilizzo di diversi registri e rappresentazioni
S1: uso esclusivo del linguaggio verbale.
S2: uso contemporaneo del linguaggio verbale e simbolico (operazioni, equazione,…). Interessante l’utilizzo delle unità di misura c/h e nh per numero di ore.
S3: uso di un linguaggio esclusivamente simbolico (aritmetico o algebrico)
S4: uso di tabelle
S5: altre rappresentazioni (segmenti); in questo caso non efficaci ai fini della risoluzione del problema.
La difficoltà del problema è legata al numero delle grandezze in gioco (numero di cassette, velocità di raccolta, tempi di lavoro tutti diversi per G, T e L) e alle relazioni fra di esse, che devono essere tenute tutte contemporaneamente presenti.
Nessun aiuto sembra venire dalle rappresentazioni sotto forma di tabella o da un utilizzo dallo strumento funzione.
L’uso dello strumento equazione semplifica drasticamente la procedura risolutiva, quasi banalizzandola, evitando di dover suddividere le tre cassette rimaste fra G, T, L e aggirando i problemi legati all’uso delle unità di misura. La scelta dell’incognita è facilitata dalla richiesta del problema (tempo di lavoro di Giovanni); la difficoltà può risiedere nella corretta “messa in equazione”, utilizzando i dati del problema 8, 6, 4, 1, ½, 1/4. In alcuni elaborati sono presenti l’impostazione e la risoluzione corrette dell’equazione ma non è certa la piena comprensione del calcolo svolto; questa consapevolezza appare più evidente con procedure aritmetiche, in cui i vari passaggi sono descritti e le unità di misura esplicitate, come il già citato elaborato SI10022.
Ad eccezione della via algebrica ogni altra procedura presenta delle insidie e la difficoltà di dare un senso ai risultati ottenuti (ad esempio: 12=8+3+1 che cosa rappresenta?). Il contesto non è vicino al vissuto dei ragazzi e non facilita la risoluzione. L’errore 99:18 può essere indotto da un’esperienza di persone che lavorano insieme per lo stesso tempo. Resta ambigua la tempistica del lavoro delle tre persone (iniziano insieme? finiscono insieme? lavorano in tempi successivi?). Viene sottointeso che i ¾ di cassa riempiti da T e ¼ da L formino un’unica cassa riempita completamente.
In classe il problema può essere utilizzato alla fine di un percorso che inizia con la semplice risoluzione di equazioni e prosegue con l’applicazione delle equazioni per la risoluzione di problemi di complessità via via crescente. Nell’ambito dei problemi sulle equazioni, infatti, questo problema richiede dei tempi di elaborazione adeguati alle difficoltà descritte.
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