ARMT

Banca di problemi del RMT

pr29-it

centre

In pizzeria

Identificazione

Rally: 22.II.14 ; categorie: 7, 8, 9, 10 ; ambito: PR
Famiglie:

Remarque et suggestion

Sunto

Ripartire lo sconto effettuato proporzionalmente alle somme versate da tre amici in un contesto di una ricevuta in pizzeria

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Calcolare la spesa di ognuno senza sconto: Andrea ha speso 13,30 euro, Bernardo 15,20 euro e Carlo 17,10 euro: in totale 45,60 euro. E dedurre eventualmente che lo sconto è di 45,60 – 42 = 3,60 €.). Comprendere che una “giusta ripartizione” dello sconto effettuato sulla spesa complessiva deve essere fatto proporzionalmente a ciò che ciascuno ha speso.

- Calcolare la somma che ognuno deve pagare, bisogna considerare la corrispondenza tra i quattro prezzi (delle tre consumazioni e del totale) prima dello sconto e i quattro prezzi dopo lo sconto, poi rendersi conto che i primi tre sono ancora incogniti e che solo l’ultimo è dato (42 euro). Una delle quattro coppie (prezzo totale e prezzo totale con sconto) è quindi completamente determinata (45,60; 42). (Nel caso si scegliesse di calcolare lo sconto, si avrebbe la coppia (45,60; 3,60).

- Si entra veramente nel problema al momento di determinare il secondo termine di ciascuna delle altre tre coppie. La tentazione è forte, nel caso di certi allievi, di calcolare la differenza fra 45,60 e 42 e di ripartirla in maniera uguale tra ciascuna delle prime tre coppie dove ciascuna otterrebbe così uno sconto di 1,20 euro. Coloro che sanno o pensano che una ripartizione proporzionale non è caratterizzata dalla costanza degli scarti, ma da quella dei rapporti, calcoleranno un rapporto tra 45,60 e 42, per esempio 42/45,60 = 420/456 = 35/38 ≅ 0.921 che dovrà così essere anche quello per le altre tre coppie.

- Il compito prosegue e termina con l’applicazione del rapporto ai primi tre numeri delle prime tre coppie. Une modo per ottenere i prezzi da pagare da A, B, C consiste nel moltiplicare il prezzo delle loro consumazioni per il rapporto precedente: Prezzo di A = 13,30 × 35/38 = 12,25; B = 15,20 × 35/38 = 14; C = 17,10 × 35/38 = 15,75 (in euro).

Ci sono numerosi algoritmi di risoluzione a disposizione degli allievi, secondo le loro abitudini: “regola del tre”, “proporzione”, “passaggio all’unità”, calcolo di percentuali,…

E’ anche possibile calcolare gli sconti con un procedimento a partire da una coppia diversa dall’ultima.

Nozioni matematiche

proporzionalità, addizione, sottrazione, differenza, rapporto, numeri decimali

Risultati

22.II.14

Punteggi attribuiti su 1629 elaborati di 20 sezioni

Categoria01234Nb.classiMedia
Cat 7452 (58%)223 (28%)28 (4%)23 (3%)59 (8%)7850.74
Cat 8233 (40%)133 (23%)46 (8%)45 (8%)129 (22%)5861.49
Cat 945 (31%)34 (23%)16 (11%)4 (3%)46 (32%)1451.81
Cat 1016 (14%)13 (12%)25 (22%)9 (8%)50 (44%)1132.57
Totale746 (46%)403 (25%)115 (7%)81 (5%)284 (17%)16291.24
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema.

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

- L’ostacolo è molto evidente e si situa a livello di costruzione del concetto di proporzionalità: una maggioranza di allievi non “sentono” la necessità di passare ai rapporti delle coppie corrispondenti, si accontentano di conservare gli scarti.

- Un primo rapido esame degli elaborati della Svizzera romanda (categorie 7 e 8 solamente) mostra che l’errore “classico” e maggioritario in categoria 7 è proprio quello di suddividere lo sconto di 3,60 euro in tre sconti di 1,20 euro per ciascuno dei tre amici, senza rendersi conto che colui che ha consumato di più dovrebbe avere uno sconto più importante di quello che ha consumato di meno. IE’ vero, a loro difesa, che si tratta di qualche centesimo che non costituisce una grande ingiustizia!!

In categoria 8, la confusione è nettamente meno frequente. Gli errori si situano a livello delle tecniche di calcolo.

Indicazioni didattiche

- Le potenzialità di questo problema riguardano il conflitto tra una percezione “additiva” e una percezione “moltiplicativa” della situazione. Uno “scontro” è inevitabile tra i fautori dell’una o dell’altra soluzione che appariranno probabilmente a livello della categorie 7 e 8. E’ una discussione condotta dall’insegnante che potrà farla fruttificare.

1. procedura “moltiplicativa” con fattore 35/38 per passare dalla prima alla seconda riga:

  prezzo prima dello sconto (in €)   13,30  15,20  17,10  45,60
  prezzo dopo lo sconto  (in €)      12,25  14     15,75  42
  sconto (in €)                       1,05   1,20   1,35   3,60)

2. procedura “additiva” con ripartizione dello sconto di 3,60 in 1,20 + 1,20 + 1,20

  prezzo prima dello sconto (in €)   13,30  15,20  17,10  45,60
  sconto (in €)                       1,20   1,20   1,20   3,60)
  prezzo dopo lo sconto (in €)       12,10  14     15,90  42

(Si vedano anche i numerosi problemi di questa famiglia del compito)

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