Les pots de bonbons

Identification

Rallye: 14.I.10 ; catégories: 5, 6, 7, 8, 9, 10 ; domaine: PR
Famille:

• PROB - Traiter des probabilités

Remarque et suggestion

Résumé

Parmi deux récipients contenant chacun deux types d’objets (respectivement 6 et 10 pour le premier, 8 et 14 pour le second), choisir celui ou l’on a la meilleure chance de tirer un objet du premier type.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Retenir les données: 6 bonbons à l'orange et 10 au citron dans le premier, 8 et 14 dans le second et la demande choix du pot dans lequel on a plus de chances de tirer un bonbon à l'orange, en étant conscient que les tirages sont aléatoires et que la réponse n'a rien avoir avec la "bonne fortune" d'un seul individu qui effectue le tirage mais s'applique à "l'infinité" des tirages possible.

- Choisir le type adéquat de relation à prendre en compte entre les quatre nombres: les nombres de bonbons d'un même goût d'un pot à l'autre, les différences au sein d'un même pot des nombres de bonbons de goûts différents, d'un même goût, les variations additive entre bonbons de goût différent d'un pot à l'autre, les rapports entre bonbons de goût différent d'un pot à l'autre, etc. C'est là que se situe l'enjeu du problème, qui exige quelques connaissances élémentaires ou intuitives sur les proportions, les fractions équivalentes, les nombres rationnels.

- Lorsque le type de relation adéquate a été reconnue, il faut encore choisir entre le rapport du nombre de bonbon à l'orange au nombre de bonbons au citron ou le rle rapport du nombre de bonbon à l'orange au nombre de total de bonbons, pour chacun des pots.

Parmi les différentes méthodes de comparaison des rapports, il y a:

- l'écriture d'une suite de rapports équivalent à 6 pour 10, comme 12 pour 20, 18 pour 30 ... et une autre suite de rapports équivalents à 8 pour 14, comme 16 pour 28, ... pour aboutir à deux rapport ayant un terme commun. (Avec des fractions il s'agit de la recherche d'un dénominateur) On arrive par exemple à la comparaison de 84 pour 140 du premier pot et 80 pour 140 du second, avec avantage pour le premier.

- le calcul direct du rapport entre le nombre de bonbons à l'orange et le nombre total pour s'apercevoir que 6/16 du premier pot (0,375) et plus grand que 8/22 du second pot (0,36s..) et en conclure qu'il faut choisi le premier pot.

Notions mathématiques

fraction, division, approximation, rapport, proportion, probabilité

Résultats

14.I.10

Points attribués sur 1166 classes de 15 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Bonne réponse (premier pot) et justification claire du procédé
• 3 points: Réponse correcte mais justification incomplète ou peu claire
• 2 points: Réponse correcte sans explications
  ou faute de calcul et réponse cohérente, avec explications
• 1 point: Début de raisonnement correct
• 0 point: Incompréhension du problème

Selon les critères 3 et 4, de l’attribution des points, qui témoignent d’une réponse plus ou moins justifiée, on constate qu’une très faible minorité d’élèves de catégorie 5 et 6 (12% et 6%) arrivent à résoudre le problème, qu’une moitié y parvient en catégories 8 (52%) et qu’il faut attendre la catégorie 9 (72%) pour obtenir une majorité de réussites.

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Les stratégies de résolution qui apparaissent à la lecture d'une centaine de copies de catégories 6, 7 et 8 se répartissent en cinq catégories parfaitement identifiables (que nous avons notées A, B, C, D et M), révélatrices des représentations des élèves à propos de la probabilité en fonction de leurs âges.

A. Comparaison des nombres de bonbons au citron, d’un pot à l’autre

On constate que les élèves qui comparent entre eux les nombres de bonbons au citron d’un pot à l’autre, pour comparer les « risques » d’en tirer un du pot choisi, plutôt que de s’intéresser aux « chances » de tirer un bonbon à l’orange (ce mot ambigu de « chance » suggéré par l’énoncé, semble être ici utilisé par les enfants au sens de « moindre risque »).

Exemple: Le pot n° 2 a beaucoup de bonbons au citron. Le pot n° 1 a moins de bonbons au citron. Il y a plus de chance d’en prendre un à l’orange dans le pot n° 1 (Cat. 6)

B. Comparaisons des différences internes d’un pot à l’autre

(La fréquence de cette procédure diminue de manière significative avec l'âges des élèves: 61% en catégorie 6, 41% en cat. 7 et 17% en cat. 8)

L’argumentation repose sur la différence interne des nombres de bonbons des deux types au sein de chaque pot. Le raisonnement ne prend en compte que les bonbons au citron « en plus » de ceux à l’orange. Selon cette conception, le « risque » de prendre un bonbon au citron se traduit numériquement par la comparaison entre 6 (pot II : 14 – 8) et 4 (pot I : 10 – 6). En minimisant cette différence, on augmente ses chances de prendre un bonbon à l’orange. Tous les élèves qui ont suivi ce raisonnement optent donc pour le pot I.

Exemple: Dans le pot I, il y a 4 bonbons au citron de plus que de bonbons à l’orange. Dans le pot II, il y a 6 bonbons au citron de plus que de bonbons à l’orange. Donc nous choisissons le pot I. ... car il y a moins de bonbons au citron en plus dans le pot I. » (Cat . 6 et 7) (Cat. 6)

C. Comparaison des variations d’un pot à l’autre

Se situant encore dans une structure additive, l’argumentation - trouvée dans 6 classes de catégorie 6, 3 de catégories 7 et 8 - repose sur le constat que, du premier pot au second, le nombre des bonbons à l’orange a augmenté de 2 et celui des bonbons au citron de 4. Le raisonnement présente un aspect plus « dynamique » que celui de la catégorie précédente qu’on pourrait alors qualifier de « statique » : c’est la modification d’un pot à l’autre, l’adjonction de 2 bonbons à l’orange et de 4 au citron, qui est prise en considération, avec une comparaison de l’augmentation relative des nombres de chaque sorte de bonbons.

Exemple: ... car il y a plus de chance de prendre le 1er pot de bonbons sachant que dans le 1er pot il y a moins de bonbons au citron que dans le 2e pot : le premier contient 10 bonbons au citron et le 2e pot en contient 14 donc il y a 4 bonbons de plus au citron, alors qu’il y a que 2 bonbons à l’orange rajoutés dans le 2ème pot . (Cat. 8)

D. Fractions ou rapports

La procédure qui conduit à la réponse correcte nécessite une comparaison de rapports et non de différences. (La fréquence de cette procédure augmente de manière significative avec l'âges des élèves: 6% en catégorie 6, 48% en cat. 7 et 69% en cat. 8)

On trouve deux choix de rapports dans les copies examinées :

D.1 rapports entre les nombres de bonbons à l’orange et ceux au citron (6/10 et 8/14), ou

D.2 rapports entre les nombres de bonbons d’une sorte et le total de ceux contenus dans le pot (6/16 et 8/22 pour ceux à l’orange ; 10/16 et 14/22 pour ceux au citron).

Procédure D.1

Dans cette procédure, observée dans 12 copies, le rapport o/c est pertinent mais ne correspond pas au modèle probabiliste. Il s’agit d’une fraction qui n’est pas spontanément comprise comme un nombre rationnel. La tâche que les élèves se fixent consiste à trouver un moyen de comparer les deux rapports 6/10 et 8/14, par l’intermédiaire de fractions équivalentes, de même dénominateur ou de même numérateur, ou plus rarement en recourant aux nombres décimaux. Il est intéressant de lire, dans ce cas, la « traduction » que font les élèves de leurs résultats pour justifier leur choix, avec le plus souvent une terminologie impropre d’un point de vue probabiliste. Exemple A la place de Julien on aurait choisi le pot 1. Il faut mettre 6/10 et 8/14 sur le même dénominateur .... 42/70 = 21/35 et 30/70 = 20/35. Julien aurait plus de chance de choisir le 1er pot. (Cat. 8)

Procédure D.2

Dans cette procédure observée majoritairement en catégories 7 et 8, c’est le rapport o/(o+c) qui est pris en compte et qui correspond au nombre de cas favorables (orange) sur le nombre total de bonbons (ou le rapport c /(o + c) correspondant au nombre de cas défavorables (citron) sur le nombre total). Cette conception sous-jacente renvoie à l’approche classique de la notion de probabilité. La grande majorité des copies de cette dernière procédure conduisent à des réponses correctes après une comparaison des deux fractions 6/16 et 8/22 ou des rapports correspondants. Les modalités de comparaison se font en cherchant un dénominateur commun, 352, 176 ou 88, ou par comparaison de rapports de dénominateur, 22 ou 44, avec des numérateurs décimaux non entiers ; par exemple : « 13,75/22 < 14/22 ou 8,25/22 > 8/22 » ou encore par un numérateur commun, 12 comme dans l’exemple suivant : ... 12/32 > 12/33 donc 6/16 > 8/32, car si 2 nombres en écriture fractionnaire ont le même numérateur, alors le plus grand est celui qui a le plus petit dénominateur. (Cat. 7)

M. Procédures mixtes

Quelques classes, de degrés 7 et 8, font simultanément référence à la soustraction et aux rapports. C’est un faible pourcentage des 96 copies examinées mais elles nous paraissent révélatrices de l’évolution d’une procédure à l’autre, illustrant le passage encore non achevé des structures additives aux structures multiplicatives chez ces élèves de 12 à 14 ans :

Exploitations didactiques

La relation entre le niveau des classes (âge) et l’utilisation d’un rapport pour interpréter une notion intuitive de probabilité est flagrante dans ce contexte des Pots de bonbons, inspiré d’un modèle d’urne. L’hypothèse est que ce modèle, par sa simplicité, est propice à l’introduction de la notion de probabilité qui peut fonctionner implicitement dans des situations de comparaison.

Mais il semble vains d’introduire la notion de probabilité à l’école primaire ou au début du collège (cat 5, 6, voire 7), sous la forme du rapport « du nombre des cas favorables à celui de tous les cas possibles ». Si la notion de quotient peut être utile sur le plan numérique, il y a peu de chance que les élèves de ces catégories lui donnent un sens probabiliste.

Voir aussi La main dans le sac (16.II.15) et Des truites (15.II.16)

Bibliographie

Voir article Henry.M. et Jaquet F In La Gazette de Transalpie no 4

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