Banque de problèmes du RMT
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Banque de problèmes du RMTpr32-fr |
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Trouver la différence entre un nombre et la somme, qui est donnée (84), de sa moitié, son quart et son huitième.
- Comprendre que le nombre de pages du livre n’est pas (encore) connu mais qu’on sait que 84 pages sont lues, en trois lectures successives : la moitié le lundi, la moitié du reste le mardi, et la moitié du nouveau reste le mercredi.
- Trouver une unité de mesure commune pour représenter la somme des pages des trois phases de lecture et arriver à 7 parties sur 8 qui correspondent à 84 : par un schéma (segment, bande, rectangle, disque) sur lequel apparaissent les moitiés successives transformées en quarts et en huitièmes, ou par une addition de fractions conduisant à 1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8. En transformant directement les parties en nombres décimaux ou en pourcentages, on arrive à 0,5 + 0,25 + 0,125 = 0,875 ou 87,5 %.
- Etablir le lien de proportionnalité (conscient ou non) entre les parties du livre et les nombres de pages lues ou à lire ou totales :
7/8 ou 87,5% ou 0,875 la partie lue correspond à 84 pages,
1/8 ou 12,5% ou 0,125 la partie à lire, correspond à un nombre de pages encore indéterminé,
8/8, ou 100 % ou 1 le livre entier correspond à un nombre de pages encore indéterminé.
En cas de dessin ou de calcul fractionnaire, les sept parties sur huit de pages lues font apparaître immédiatement qu’une partie est non lue, et qu’il suffit de diviser les 84 pages par 7 pour trouver les 12 pages non lues. (Même si on calcule les huit parties, 96, et qu’on retrouve les 12 par différence entre 96 et 84).
Lorsque le rapport est exprimé sous forme de nombre rationnel, la proportionnalité conduit à la division 84 : 0,875 = 96 lorsque les algorithmes nécessaires sont maîtrisés (règle de trois, passage au centième ou au 1% …) suivi de la soustraction 96 - 84.
Une autre procédure consiste à travailler par essais et adaptations successives ou, de manière plus synthétique, par voie algébrique.
nombres rationnels, fractions, somme, moitié, reste, addition, soustraction, proportionnalité
Points attribués, sur 2615 classes de 21 sections
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 6 | 572 (55%) | 102 (10%) | 16 (2%) | 120 (11%) | 235 (22%) | 1045 | 1.37 |
| Cat 7 | 291 (31%) | 59 (6%) | 42 (5%) | 126 (14%) | 408 (44%) | 926 | 2.33 |
| Cat 8 | 131 (20%) | 41 (6%) | 23 (4%) | 74 (11%) | 375 (58%) | 644 | 2.81 |
| Total | 994 (38%) | 202 (8%) | 81 (3%) | 320 (12%) | 1018 (39%) | 2615 | 2.06 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Comme le montre le tableau des points obtenus, il y a une progression très sensible de la réussite de la catégorie 6, ou un tiers seulement des copies donnent la solution, à la catégorie 8, avec presque trois quarts de solutions correctes.
Quelques observations effectuées à l’examen de 130 copies de Suisse romande:
Dans les réponses correctes, on relève différentes manières d’affronter le problème :
- La plus fréquente fait appel à ce qu’on pourrait qualifier de « sens commun » avec le dessin d’un rectangle ou d’un disque, divisé en deux, puis une des parties en deux, puis la dernière en deux, avec des pointillés pour reporter les dernières divisions dans les parties précédentes (afin de bien percevoir l’unité commune). On obtient alors 8 bandes sur le rectangle, dont 7 sont marquées pour marquer les parties lues, avec l’indication « 84 pages ». Selon les données particulière de ce problème, ce qui reste à lire correspond précisément à la huitième partie et il suffit d’effectuer la division 84 : 7 = 12 pour trouver le nombre de pages de l’une des sept parties ou la huitième qui est la demande du problème. Cependant dans de nombreux cas, les élèves calculent l’ensemble des 8 parties (8 × 12 = 96) et retranchent 84 pour obtenir 12.
- Une deuxième procédure fait appel aux écritures fractionnaires 1/2 , 1/4 , 1/8, transformées en fractions de même dénominateur (l’unité commune) pour aboutir à une écriture du genre « 7/8 des pages du livre = 84 », (parfois simplifiée abusivement en « 7/8 = 84 »). La division par 7 conduit aux écritures correspondantes « 1/8 des pages du livre = 12 » (ou « 1/8 = 12 ») pour, le plus souvent calculer le nombre total de pages du livre par une multiplication par 8 et le nombre des pages. Dans un seul cas, on relève la division « 84 : 7/8 » pour trouver les 96 pages du livre.
- Une troisième procédure diffère de la deuxième par l’usage de nombres décimaux ou de pourcentages. L’affirmation que les 84 pages lues correspondent à 87,5 % ou à 0,875 du nombre de pages ne permet plus l’appréhension directe des sept parties sur huit et par conséquent la nécessité d’une division par 7. Il faut alors faire appel aux propriétés de la proportionnalité et aux algorithmes qui s’y rapportent, divisions, passage à l’unité, « règle de trois »… comme par exemple :
On a calculé 7/8 = 0,875, puis nous avons fait 84 pages divisé par 0,875, cela fait 96 pages en tout. Ensuite on a soustrait 96 – 84 = 12. Il lui reste 12 pages à lire.
- Une quatrième procédure repose sur la prise de conscience que le nombre de pages du livre est encore inconnu et qu’il faut chercher à le déterminer en priorité, par essais organisés et adaptés progressivement. Certaines fois, les essais ne sont pas mentionnés explicitement et le calcul du nombres de pages s’effectue directement à partir de 96 ou de 48 le lundi.
Les erreurs
Si on considère que la réponse « 96 » n’est qu’un oubli de la demande précise du nombre de pages encore à lire, les erreurs se regroupent en deux catégories :
- Une confusion entre le nombre total de pages et les 84 pages lues. Dans ce cas, le problème se réduit au calcul de 42, 21 et 10,5 pages lues respectivement le lundi, le mardi et le mercredi et à la réponse 10,5 pages restant à lire, parfois arrondies à 10 ou 11.
Le mercredi il n’a lu qu’un 8eme de son livre, donc 7/8 qui sont 84 pages. 84 : 8 = 10,5. Il lui reste donc 10,5 pages à lire.
Dans certains cas, arrivés à 21 pages, les élèves s’y arrêtent, calculent qu’il y a eu 63 pages de lues et qu’il en reste 21 à lire (vraisemblablement parce que 21 étant un nombre impair on renonce à la division successive par 2).
- Division de 84 par 3 ou par 6.
Exemple 1: 84 : 3 = 28 (en colonnes) Un jour = 28 pages ; 4 jours = 100 pages (au lieu de 112) ; dernier jour = 16 pages
Exemple 2: Il y a sept jours dans la semaine alors on a fait 84 : 3 = 28 puis 28 × 4 = 112 , alors ça fait qu’il devra encore lire 112 pages.
Exemple 3: On sait qu’il a lu 84 pages. Comme il a lu la moitié lundi, mardi encore la moitié et mercredi la même chose. Comme en trois jours il lit trois fois la moitié on divise par 6 ce qui donne 14 pages …
La lecture d’Isidore est un problème en relation évidente avec le thème des fractions abondamment traité en classe de mathématiques. On y découvre en effet, en première lecture, la nécessité de prendre « la moitié de la moitié, puis de la moitié » et d’additionner des demis, quarts et huitièmes avec transformation préalable den fractions de dénominateurs communs.
Le fait que ce problème soit « bien réussi » en catégories 7 et 8 pourrait laisser croire aussi qu’il n’est plus nécessaire de le reprendre pour des élèves de ces degrés et de ne le proposer qu’à des élèves de catégorie 6.
Il faut toutefois relever que les trois fractions 1/2, 1/4 , 1/8 sont très familières et que la différence entre leur somme (7/8) et l’unité est aussi l’un de ces fractions, la troisième. On se situe donc dans un cas extrêmement particulier avec des modèles familiers de représentation, dont le disque (partage d’une tarte).
Il serait intéressant, lors de la reprise du problème, même dans ce cas particulier, de se demander si les écritures fractionnaires que de nombreux groupes font apparaître dans leurs copies représentent des nombres (rationnels) ou des objets concrets (parts, tranches, surfaces, portions de droite) et si leurs combinaisons sont des opérations (addition et soustraction) ou de simples assemblages ou juxtapositions dans l’espace.
Les mêmes interrogations se posent pour les écritures en pourcentages, alors que l’usage d’écritures décimales laisse entendre qu’on travaille sur des nombres.
Les concepts d’unité de mesure puis de proportionnalité sont aussi à évaluer lors de la reprise en classe de ce problème. Il faut que l’élève soit conscient que pour pouvoir comparer ou opérer sur les différentes parties du livre, il doit trouver une unité commune. Lorsqu’il utilise des écritures fractionnaires, l’unité commune est le « huitième » (des pages du livre) ; dans le cas des pourcentages, l’unité commune est le « pour cent », dans le cas des nombres décimaux, l’unité est l’ensemble des pages du livre, représenté par le nombre 1.
Dans tous les cas, on est en présence de « mesures » qui seront ensuite mises en relation avec les nombres de pages par une relation de proportionnalité :
lundi mardi mercredi lu reste total en fractions : 1/2 1/4 1/8 7/8 1/8 8/8 en pourcentages 50 25 12,5 87,5 12,5 100 en nombres décimaux 0,5 0,25 0,125 0,875 0,125 1 en pages ? ? ? 84 ? ?
L’énoncé peut être repris sans modification pour des élèves de catégorie 6, dans le but de faire apparaître clairement les représentations graphiques de la répartition, la traduction en fractions ou en nombres décimaux.
En revanche, il devrait être adapté pour les élèves plus âgés, de catégorie 7 et 8 afin de vérifier la maîtrise du calcul et des représentations de fractions simples.
En remplaçant par exemple « la moitié » par « le tiers » dans les premières phrases de l’énoncé et 84 par 76 ou 114 (multiple de 19) on aboutira au calcul 1/3 + 1/3(2/3) + 1/3(4/9) = 19/29 plus complexe que celui d’origine, on empêchera la transformation en nombres décimaux ou en pourcentages, le reste ne sera plus une fraction de dénominateur 1.
Dans cette nouvelle version, on pourra contrôler la maîtrise de la relation de proportionnalité entre les parties exprimées en fraction de l’unité et les nombres de pages en faisant correspondre 19/29 à 76 ou 114 et 29/29 = 1 au nombre de pages total, 116 ou 174.
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