Banque de problèmes du RMT
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Banque de problèmes du RMTpr33-fr |
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Calculer le temps nécessaire à un nombre donné de machines (20) pour terminer une production d’un certain nombres d’objets (16500), connaissant le temps (2 jours) mis par un plus petit nombre de machines (8) pour produire une partie des objets (1500).
- Comprendre que le nombre de jours requis dépend à la fois du nombre de machines et du nombre de panettones à produire ; dans ce cas, combien de jours sont nécessaires à 20 machines pour produire les 15000 qui manquent.
- Calculer combien de panettones produit chaque machine en un jour, avec l’opération 1500 : 8 : 2 = 93,75; 20 machines qui marchent ensemble produisent 93,75 × 20 = 1875 panettones par jour et donc, pour produire les 15000 panettones qui manquent il faut 15000 : 1875 = 8 (jours).
(Il n’est cependant pas nécessaire de revenir à l’unité. Une production de 750 panettones avec 8 machines par jour donne les 1875 panettones avec 20 machines par jour.)
Ou: observer que 15000 est 10 fois 1500 et donc que, si 8 machines en 2 jours produisent 1500 panettones, 80 machines, en 2 jours, en produisent 15000 ; 20 machines (20 = 80 : 4) utiliseront alors 2 × 4 = 8 (jours).
Ou: faire recours explicitement à la proportionnalité ; par exemple, en fixant le nombre de machines et en indiquant par y le nombre de jours, on a la proportion : 1500 : 15000 = 2 : y d’où y = 3000 : 150 = 20 (jours) ;
puis, en maintenant constant le nombre de panettones et indiquant par x le temps en jours, on a la proportion suivante : 20 : 8 = 20 : x d’où x = 160 : 20 = 8 (jours).
Ou, par tranches de deux jours: le 1e et le 2e : 1500 panettones avec 8 machines; le 3e et le 4e: 1500 + 1500 + 750 = 3750 panettones avec 12 + 8 = 8 + 8 + 4 machines; après les 5e et 6e, puis les ; 7e et 8e jours on arrive à 12750 et il manque encore 3750 (=16500-12750) produits en deux jours. Total : 10 jours, il reste encore 8 jours.
nombres naturels, nombres rationnels, addition, soustraction, multiplication, division, rapport, proportionnalité
Points attribués, sur 1877 classes de 20 sections
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 261 (28%) | 205 (22%) | 120 (13%) | 74 (8%) | 267 (29%) | 927 | 1.87 |
| Cat 8 | 121 (19%) | 111 (17%) | 66 (10%) | 64 (10%) | 281 (44%) | 643 | 2.42 |
| Cat 9 | 12 (7%) | 18 (11%) | 14 (9%) | 22 (14%) | 95 (59%) | 161 | 3.06 |
| Cat 10 | 14 (10%) | 16 (11%) | 22 (15%) | 11 (8%) | 83 (57%) | 146 | 2.91 |
| Total | 408 (22%) | 350 (19%) | 222 (12%) | 171 (9%) | 726 (39%) | 1877 | 2.24 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Toutes les procédures de résolution de problèmes de proportionnalité apparaissent ici : le passage à l’unité (production d’une machine en un jour (93,75) puis calculé pour 20 machines en un jour (1875) ou par machine par tranches de deux jours (187,5) ou pour les 8 machines par tranche de deux jours (375, … ) ; les tableaux (nb de jours/ nb de machines / production) ; les progressions jour par jour ; les rapports internes au sein de chaque grandeur (rapports entre les nombre de jours reportés sur les productions), …
Un type d’erreur est dû à la confusion entre nb total de jours (10) et nombre de jours encore nécessaires.
Un autre type d’erreurs est l’oubli du fait que le nombre de machines a changé entre les deux premiers jours et les suivants, ce qui conduit à calculer le nombre de jours à partir du total des 16500 panettones au lieu de 15000 pour les jours restants. On arrive ainsi, à partir de la production de 20 machines par jour (1875) à la division 16500 : 1875 = 8,8 et parfois à 6,8 en soustrayant les deux premiers jours.
Le tableau des résultats montre une progression significative de la catégorie 7 aux suivantes. La même constatation a été faite pour de nombreux autres problèmes avec des tâches analogues. D’une manière générale, le concept de proportionnalité se construit efficacement, en liaison avec celui de rapport en tant que nombre rationnel, dès les catégories 7 et 8. Les problèmes dits de « proportionnalité » du domaine « scolaire » où les rapports sont des nombres entiers bien particuliers peuvent être abordés précédemment sans que les élèves perçoivent la nature du lien entre les grandeurs en jeu.
Le problème Noël gourmand peut donc être proposé en classe dès les niveaux 7 et 8. Son intérêt est de permettre la comparaison des différentes manières d’expliciter les liens de proportionnalité, de les illustrer par des tableaux ou des schémas, de mettre en évidence les grandeurs en présence et les rapports, sous forme de nombres décimaux ou rationnels.
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