Les ballons colorés (I)

Identification

Rallye: 24.I.01 ; catégorie: 3 ; domaines: PR, OPN
Familles:

• ADD - Rechercher une somme ou une différence de nombres
• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• SP - Traiter des suites proportionnelles
• SP/RIP - Effectuer des répartitions proportionnelles
• SP/TC - Chercher des termes correspondants

Remarque et suggestion

Résumé

Déterminer le nombre total de ballons d’une file, selon une séquence périodique de 3 ballons bleus et de 2 ballons rouges, dont 24 ballons sont bleus.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Imaginer la rangée de ballons où se répète une période de 3 ballons bleus et 2 ballons rouges et/ou en dessiner le début.

- Poursuivre le dessin jusqu’à ce qu’on ait 24 ballons bleus et en terminant la rangée par deux ballons rouges ; puis compter le nombre total de ballons : 40. (Le non respect de la consigne « la rangée se termine avec 2 ballons rouges » entraînerait la réponse erronée 38).

Ou, utiliser un raisonnement arithmétique, par exemple :

- Considérer que 24 ballons bleus correspondent à une répétition de 8 fois les 3 ballons bleus d’une période (8 = 24 : 3) et calculer le nombre de ballons rouges (16 = 2 × 8).

- Déduire enfin que le total des ballons est 40 = 24 + 16.

Ce raisonnement est, de manière implicite, le même que celui utilisé pour compléter deux suites de nombres proportionnels :

  dans chaque période on a :      3 ballons bleus   2 rouges   5 au total
  et dans la file entière on a : 24 ballons bleus   ? rouges   ? au total

le facteur de proportionnalité est 8 (nombres de période, tiré de 24 : 3), permettant de trouver 16 et 40.

Notions mathématiques

nombre naturel, addition, somme, soustraction, différence, proportionnalité, période, suite périodique

Résultats

24.I.01

Points attribués, sur 454 classes de 15 sections

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (40 ballons) avec une explication claire et complète (dessin ou calcul)
• 3 points: Réponse correcte (40 ballons) avec une représentation peu claire ou incomplète
  ou réponse donnant le nombre de ballons de chaque couleur (24 bleus et 16 rouges) sans calcul du total
• 2 points: Réponse erronée due à une erreur de calcul ou à un schéma correct mais incomplet, (par exemple 38 ballons qui représentent les séquences organisées avec les 8 groupes de 3 bleus mais sans les 2 derniers rouges)
  ou réponse donnant le nombre de ballons rouges seulement (16 rouges)
• 1 point: Début de recherche appropriée, montrant la compréhension de l’alternance des deux sortes de ballons et de la suite numérique, complète ou non, mais sans proposer de réponse
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Dans la résolution, la majorité des groupes s’est appuyée sur un dessin. Dans certains cas, ce dessin, suivi d’un comptage direct des ballons de couleur s’est révélé suffisant. Dans d’autres cas, des calculs ont été ajoutés, qui sont la traduction arithmétique de ce que les élèves ont observé sur le dessin.

Une autre mathématisation apparaît là où une écriture numérique se substitue aux ballons : une suite de « 3 » et de « 2 » remplace les groupes de ballons de deux couleurs, suivie des calculs qui se réfèrent à cette suite de nombres.

Très peu de copies font état du raisonnement générique (au moyen d’opérations arithmétiques seulement, cité dans la tâche de résolution ci-dessus. On ne trouve pas de référence explicite au concept de proportionnalité (aussi cité précédemment). Si le nombre 8 apparaît, c’est parce que les 8 périodes sont apparues par dessin ou par une manière de constater qu’il faut une répétition de huit groupes de trois ballons bleus pour arriver à 24. par exemple :

La copie montre la suite des huit premiers multiples de 3 : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24

puis continue par la suite des opérations :
2 × 8 = 16
16 + 24 = 40

pour finir par la réponse: Ils ont 40 ballons accrochés sur le mur du préau.

On relève deux types de difficultés :

1. Difficulté de gestion du dessin par rapport aux données (les deux ballons rouges de la fin de rangée manquent, le nombre de groupes de ballons bleus n’est pas correct- vraisemblablement par erreur du comptage par trois)
2. Erreurs sur les calculs correspondants au dessin, surtout lorsque la résolution ne se fonde que sur celui-ci.

La demande « d’expliquer comment vous avez trouvé la réponse » (les critères d’attribution des points spécifient qu’il s’agit de dessin ou de calcul) est interprétés par certains groupes comme le récit de ce qui a été fait. Les enfants s’efforcent d’y répondre et leur explication consiste à mettre en parole ce quils ont fait en dessinant ou du genre : « on a lu et on a trouvé ». 

Exploitations didactiques

Le problème peut être repris en classe entière pour la gestion des données. La résolution à partir de dessins est parfaitement légitime puisqu’elle est efficace. La confrontation entre les solutions apportées par les différents groupes peut faire émerger des procédures où figurent des calculs auxquels il faudra donner du sens.

Si on désire convaincre les élèves que la procédure arithmétique (générique) a des avantages sur la procédure par dessin ou énumération de tous les ballons, on peut reprendre le problème avec des données, plus grandes, par exemple en modifiant l’alternance “3 / 2” en “7 / 6” et le nombre de ballons d’une couleur de 24 en un multiple de 6 et de 7 comme 84 ou 126. Ce sera à eux de constater que le dessin de tous les ballons est fastidieux et présente des risques d’erreurs au moment du comptage.

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