Banque de problèmes du RMT
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Banque de problèmes du RMTpr37-fr |
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Déterminer le nombre total de ballons de deux files, selon des séquences périodiques : de 3 ballons bleus et de 2 ballons rouges, dont 24 ballons sont bleus pour la première file ; de 2 ballons jaunes et de 4 ballons verts, dont 24 ballons sont verts pour la seconde file.
- Imaginer les deux rangées de ballons, ou éventuellement en dessiner le début, où se répètent, dans la première une période de 3 ballons bleus et 2 ballons rouges, dans la seconde une période de 2 ballons jaunes et de 4 ballons verts, et/ou en dessiner le début.
- Poursuivre les dessins jusqu’à ce qu’on ait 24 ballons de la couleur désignée (bleus pour la première rangée, verts pour la seconde) et en les terminant pas les ballons de l’autre couleur (2 rouges pour la première rangée, 4 verts pour la seconde). Puis compter les nombres de ballons : 40 et 36, pour un total de 76 ballons.
Ou : Utiliser un raisonnement arithmétique, par exemple:
Pour la première rangée de ballons : considérer que 24 ballons bleus correspondent à une répétition de 8 fois les 3 ballons bleus d’une séquence (8 = 24 : 3) et en déduire le nombre de ballons rouges (16 = 2 × 8) ; pour la 2e rangée, le même raisonnement conduit à 6 groupes constitués de 4 ballons verts (6 = 24 : 4) et donc à 12 ballons jaunes (2 × 6).
- Déduire enfin que le total des ballons est 76 = (24 + 16) + (24 + 12).
Ce raisonnement est, de manière implicite, le même que celui utilisé pour compléter deux suites de nombres proportionnels, pour la première rangée par exemple :
dans chaque période on a : 3 ballons bleus 2 rouges 5 au total et dans la file entière on a : 24 ballons bleus ? rouges ? au total
Le facteur de proportionnalité est 8 (nombres de période tiré de 24 : 3), permettant de trouver 16 et 40.
nombre naturel, addition, somme, soustraction, différence, proportionnalité, période, suite périodique
Points attribués, sur 1499 classes de 20 sections
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 4 | 142 (20%) | 75 (10%) | 110 (15%) | 59 (8%) | 337 (47%) | 723 | 2.52 |
| Cat 5 | 81 (10%) | 57 (7%) | 134 (17%) | 77 (10%) | 427 (55%) | 776 | 2.92 |
| Total | 223 (15%) | 132 (9%) | 244 (16%) | 136 (9%) | 764 (51%) | 1499 | 2.72 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
Les observations suivantes proviennent d’une première analyse de 46 copies de cat. 4 et de 55 copies de cat. 5 de Suisse romande. Les résultats obtenus par ces copies sont du même ordre de grandeur que ceux relevés au niveau international.
Le dessin, accompagné ou non des calculs, est encore la stratégie qui, surtout en catégorie 4, permet de résoudre le problème.. D’après les déclarations des élèves, on sait aussi que des objets de couleur appropriés ont permis une résolution par manipulation.
Des stratégies apparaissent cependant (seulement deux en catégorie 4 et une dizaine en catégorie 5) avec une recherche d’un facteur multiplicatif utilisé dans le calcul des ballons qui manquent. Cette stratégie, qui indique le début d’un raisonnement de type proportionnel, est pas encore sûre et les enfants hésitent entre ce raisonnement et d’autres procédures plus rassurantes. Dans certains cas (5) les enfants ont cherché par une division le nombre de de groupes de ballons bleus et verts, mais ils ont alors utilisé le nombre obtenu pour dessiner les ballons rouges et jaunes, revenant ainsi à une stratégie par images. Dans les autres copies, le recours à un raisonnement arithmétique n’est pas accompagné de dessins.
Une seule copie décrit une stratégie de type proportionnel:
Il manque le total des rouges et des jaunes.
Il y a 6 groupes de verts parce que 6 × 4 = 24
Il y a 8 groupes de bleus parce que 8 × 3 = 24
Il y a 8 groupes de rouges parce que 8 × 2 = 16
Il y a 6 groupe de jaunes parce que 6 × 2 = 12
24 + 24 + 12 + 16 = 76 il y a en tout 76 ballons
L’usage inapproprié de la conjonction “parce que” fait cependant comprendre que le raisonnement se situe à un niveau encore intuitif.
Les explications requises sont la répétition verbale de ce qui a été fait (par le dessin ou les calculs) ou du genre “on a lu et puis on a fait …”
Le fait d’avoir deux rangées de ballons à gérer n’a pas cré d’obstacle particulier. Quelques copies montrent quelques difficultés de gestion de toutes les informations ou l’oubli des deux ballons rouges en fin de rangée. (stranamente hanno dimenticato molto meno i palloncini verdi).
Dans quelques copies seulement, un raisonnement correct se limite à l’une des rangées, l’autre étant oubliée.
L’incompréhension du problème se manifeste par exemple par l’addition de toutes les données numériques de l’énoncé.
Le problème, ainsi formulé ne nécessite pas d’explications de l’enseignant. Le pourcentage élevé de réponses correctes (environ 60 %) montre que l’énoncé est clair et la résolution à la portés d’élèves de catégories 4 et 5. La lecture et l’organisation de la recherche doivent donc être laissés à la responsabilité des élèves.
Dans le cas où l’on en aurait besoin, ce problème peut être utilisé pour faire compredre ce qu’est une séquence périodique et différentes manières de la représenter.
Si on désire convaincre les élèves que la procédure arithmétique (générique) a des avantages sur la procédure par dessin ou énumération de tous les ballons, on peut reprendre le problème avec des données, plus grandes, par exemple en modifiant l’alternance et le nombre de ballons d’une couleur de sur chacune des rangées. Ce sera aux élèves de constater que le dessin de tous les ballons est fastidieux et présente des risques d’erreurs au moment du comptage et de décider d’adopter d’autres stratégies plus économiques.
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