Banque de problèmes du RMT
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Un premier mélange ayant été réalisé en inversant les masses nécessaires de deux composants, calculer la masse de celui des deux composants qu'il faut ajouter au premier mélange pour rétablir une proportion correcte.
Analyse a priori:
- Comprendre que la situation met en relation 2 grandeurs : masse d'eau et masse de sucre.
- Comprendre que, pour respecter la recette, la proportion d’eau et de sucre doit être la même que celle de la recette originale.
- Comprendre que, les quantités ayant été inversées, il faut ajouter du sucre en conservant la quantité d'eau, soit 1 000 g.
- Pour trouver la quantité de sucre à ajouter il faut partir de la recette « 1000 g de sucre pour 250 g d’eau » et chercher le mélange final contenant « une quantité encore inconnue de sucre et 1000 g d’eau » c’est-à-dire passer du couple : (1000 ; 250) au couple (1000 ; ?). Les quatre quantités se correspondant deux à deux, on peut les disposer en ligne, en colonne, en tableau, …
- Il faut alors tenir compte du fait que, dans une situation de « recette », c’est le rapport 1000/250 = 4 ou « la masse du sucre doit toujours être 4 fois celle de l’eau » qui doit être conservé et non la différence (1000 – 250 = 750) qui conduirait à l’erreur 1000 + 750 = 1750. La quantité totale de sucre doit donc être 4 fois celle de l’eau ; 1000 = 4 × 250 (en g).
- Déduire alors les 250 g de sucre déjà contenus dans le premier mélange et trouver le sucre à ajouter : 3750 = 4000 – 250 (en g)
Ou
- Décomposer les opérations en plusieurs étapes, dont éventuellement le passage à l’unité, le passage au double, etc selon les propriétés de la proportionnalité qui conservent le rapport :
Masse d’eau en g 250 25 1 100 500 … 1 000 Masse de sucre en g 1 000 100 4 400 1 000 … 4 000
nombre naturel, multiplication, division, proportionnalité, mélange
Points attribués sur 3607 classes de 21 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 6 | 680 (46%) | 56 (4%) | 94 (6%) | 218 (15%) | 429 (29%) | 1477 | 1.77 |
| Cat 7 | 332 (26%) | 44 (3%) | 100 (8%) | 257 (20%) | 542 (43%) | 1275 | 2.5 |
| Cat 8 | 85 (10%) | 23 (3%) | 64 (7%) | 216 (25%) | 467 (55%) | 855 | 3.12 |
| Total | 1097 (30%) | 123 (3%) | 258 (7%) | 691 (19%) | 1438 (40%) | 3607 | 2.35 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Premières observations
Réponse 3750
L’analyse de 300 copies d’une section montre que la réponse correcte (3750) est atteinte par 53% des groupes, de manière progressive selon les catégories 6, 7 et 8 : 39%, 58% et 73%. La tâche effectivement observée est la suivante : partir de la recette « 1000 g de sucre pour 250 g d’eau » et chercher le mélange final contenant « une quantité encore inconnue de sucre et 1000 g d’eau » c’est-à-dire passer du couple : (1000 ; 250) au couple (1000 ; ?). Au préalable, il fallait évidemment se rendre compte qu’il fallait ajouter du sucre et seulement du sucre pour répondre aux conditions du récit. (ce que tous la plupart des groupes ont compris, sauf ceux qui ont répondu « 750 » en ajoutant 750 g de sucre et retirant 750 g d’eau.
On trouve de très nombreuses dispositions avec un tableau et en ligne où les quatre quantités se correspondant deux à deux, du genre:
eau 250 1 000 sucre 1 000 ?
C’est le rapport 1000/250 = 4 ou 250/1000 = 1/4 qui est reconnu et qui conduit à l’expression : la quantité totale de sucre doit donc être 4 fois celle de l’eau ; 1000 = 4 × 250.
La particularité de cette situation fait que le rapport de proportionnalité « × 4 » est aussi le rapport entre les deux quantités d’eau ou les deux quantités de sucre, tiré de la propriété multiplicative de la linéarité : f(4 × a) = 4× f(a). Ensuite, lorsqu’on revient à la situation d’origine où il y a déjà 250 g de sucre, la quantité de sucre à ajouter se calcule par soustraction 3750 = 4000 – 250 ou par complément étant considéré comme naturel que 3750 + 250 = 4000. On trouve aussi quelques décompositions en plusieurs étapes : passages successifs au double,
eau 250 500 1000 sucre 1 000 2000 4000
ou à la moitié, combinés avec des multiplications par 8 ou par 16 pour aboutir à 4000 dans la ligne du sucre,
eau 250 125 62,5 … sucre 1 000 500 250 … 4000
Dans quelques cas seulement, les élèves ont de la peine à décrire leur raisonnement et se limitent à une justification du genre il y a quatre fois plus de sucre.
Réponse 4000
Elle était prévue par les critères d’attribution des points. 30 copies (12% du total) présentent cet oubli de la situation initiale dans l’exécution de la tâche.
Réponses 1500, 1750 et 750
Les conception additives (réponses 1500, 1750 et 750) sont en recul de la cat. 6 à la cat. 8 : 36%, 22% et 7 %. Ce pourcentage serait encore plus élevé en cat. 6 si l’on tenait compte des « autres réponses » dont une partie sont de type additif.
Les 73 % de réussite en catégorie 8 au problème du Confiseur confus semblent indiquer que, si les élèves font appel à la relation multiplicative (rapport), c’est qu’ils ont franchi l’obstacle du conflit « rapport / différence ». Mais on peut émettre l’hypothèse que le conflit n’est pas résolu en raison de l’attrait rapport « × 4 », très simple dans ce cas car il s’agit d’un nombre naturel.
Il faut alors vérifier avec un rapport moins évident. Par exemple avec une recette 300/1000 qui donne un rapport inverse non décimal (et vraiment rationnel) ou avec une recette plus simple de 800/1000 où l’inverse est un nombre décimal. Le concept de rapport dans des situations de proportionnalité ne se construit qu’à partir des catégories 8 et suivantes selon les données recueillies par le RMT. Par exemple le problème Les confitures (15.F.12) où l’on recherche les recettes équivalentes entre (8;5), (10;7), (16; 10) et (5; 3) obtient systématiquement la réponse (8;5) et (10;7) en raison de l’écart de 3 en catégories 5 et 6. On voir apparaître des réponses (8;5) et (16; 10) encore minoritaires en catégorie 7, plus fréquentes en catégorie 8 mais avec encore beaucoup d’échecs. Alors que dans le problème Mousse au chocolat (20.I.10) où l’on recherche lequel des trois couples (4;200), (6;250) et (10;500) ne correspond pas à la même recette que les deux autres. (les différence entre 4 et 200, 6 et 250 et 10 et 500 ne sont évidemment pas les mêmes et l’on perçoit immédiatement le « × 50 » entre 4 et 200 comme entre 10 et 500).
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