Banca di problemi del RMT
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Dato un miscuglio realizzato inizialmente invertendo le masse necessarie di due componenti, calcolare la massa di quello dei due componenti che bisogna aggiungere al primo miscuglio per ristabilire la proporzione corretta.
Analisi a priori:
- Comprendere che la situazione mette in relazione due grandezze: massa d’acqua e massa di zucchero.
- Comprendere che, per rispettare la ricetta, la proporzione d'acqua e di zucchero dev'essere la stessa di quella della ricetta originale.
- Comprendere che, invertite le quantità, bisogna aggiungere zucchero conservando la quantità d’acqua, cioè 1000 g.
- Per trovare la quantità di zucchero da aggiungere bisogna partire dalla ricetta « 1000g di zucchero per 250 g di acqua » e cercare il miscuglio finale contenente una quantità incognita di zucchero e 1000g di acqua » cioè passare dalla coppia (1000 ; 250) alla coppia (1000 ; ?). Poiché le quattro quantità si corrispondono due a due, si possono disporre in riga, in colonna, in una tabella ...
Bisogna allora tener conto del fatto che, in una situazione di “ricetta”, è il rapporto 1000/250 = 4 o “la massa dello zucchero deve sempre essere 4 volte quella dell’acqua” che deve essere conservato e non la differenza (1000 - 250 = 750) che porterebbe all'errore 1000 + 750 = 1750. La quantità totale dello zuccherio deve dunque essere quattro volte quella dell’acqua; 1000 = 4 × 250 (in gr).
- Sottrarre allora i 250 g di zucchero già contenuti nel primo miscuglio e trovare lo zucchero da aggiungere : 3750 = 4000 – 250 (in g)
Oppure:
- scomporre le operazioni in più tappe, di cui eventualmente il passaggio all’unità, il passaggio al doppio, ecc. secondo le proprietà della proporzionalità che conservano il rapporto :
Massa d’acqua in g 250 25 1 100 500 … 1000 Massa di zucchero in g 1000 100 4 400 1000 … 4000
numero naturale, moltiplicazione, divisione, proporzionalità, miscela
Punti attribuiti su 3607 classi di 21 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 6 | 680 (46%) | 56 (4%) | 94 (6%) | 218 (15%) | 429 (29%) | 1477 | 1.77 |
| Cat 7 | 332 (26%) | 44 (3%) | 100 (8%) | 257 (20%) | 542 (43%) | 1275 | 2.5 |
| Cat 8 | 85 (10%) | 23 (3%) | 64 (7%) | 216 (25%) | 467 (55%) | 855 | 3.12 |
| Totale | 1097 (30%) | 123 (3%) | 258 (7%) | 691 (19%) | 1438 (40%) | 3607 | 2.35 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Premières observations da traduire in italiano
Réponse 3750
L’analyse de 300 copies d’une section montre que la réponse correcte (3750) est atteinte par 53% des groupes, de manière progressive selon les catégories 6, 7 et 8 : 39%, 58% et 73%. La tâche effectivement observée est la suivante : partir de la recette « 1000 g de sucre pour 250 g d’eau » et chercher le mélange final contenant « une quantité encore inconnue de sucre et 1000 g d’eau » c’est-à-dire passer du couple : (1000 ; 250) au couple (1000 ; ?). Au préalable, il fallait évidemment se rendre compte qu’il fallait ajouter du sucre et seulement du sucre pour répondre aux conditions du récit. (ce que tous la plupart des groupes ont compris, sauf ceux qui ont répondu « 750 » en ajoutant 750 g de sucre et retirant 750 g d’eau.
On trouve de très nombreuses dispositions avec un tableau et en ligne où les quatre quantités se correspondant deux à deux, du genre:
eau 250 1 000 sucre 1 000 ? C’est le rapport 1000/250 = 4 ou 250/1000 = 1/4 qui est reconnu et qui conduit à l’expression : la quantité totale de sucre doit donc être 4 fois celle de l’eau ; 1000 = 4 × 250.
La particularité de cette situation fait que le rapport de proportionnalité « × 4 » est aussi le rapport entre les deux quantités d’eau ou les deux quantités de sucre, tiré de la propriété multiplicative de la linéarité : f(4 × a) = 4× f(a). Ensuite, lorsqu’on revient à la situation d’origine où il y a déjà 250 g de sucre, la quantité de sucre à ajouter se calcule par soustraction 3750 = 4000 – 250 ou par complément étant considéré comme naturel que 3750 + 250 = 4000. On trouve aussi quelques décompositions en plusieurs étapes : passages successifs au double,
eau 250 500 1000 sucre 1 000 2000 4000 ou à la moitié, combinés avec des multiplications par 8 ou par 16 pour aboutir à 4000 dans la ligne du sucre,
eau 250 125 62,5 … sucre 1 000 500 250 … 4000 Dans quelques cas seulement, les élèves ont de la peine à décrire leur raisonnement et se limitent à une justification du genre il y a quatre fois plus de sucre.
Réponse 4000
Elle était prévue par les critères d’attribution des points. 30 copies (12% du total) présentent cet oubli de la situation initiale dans l’exécution de la tâche.
Réponses 1500, 1750 et 750
Les conception additives (réponses 1500, 1750 et 750) sont en recul de la cat. 6 à la cat. 8 : 36%, 22% et 7 %. Ce pourcentage serait encore plus élevé en cat. 6 si l’on tenait compte des « autres réponses » dont une partie sont de type additif.
Les 73 % di réussite en catégorie 8 au problème du Confiseur confus semblent indiquer que, si les élèves font appel à la relation multiplicative (rapport), c’est qu’ils ont franchi l’obstacle du conflit « rapport / différence ». Mais on peut émettre l’hypothèse que le conflit n’est pas résolu en raison di l’attrait rapport « × 4 », très simple dans ce cas car il s’agit d’un nombre naturel.
Il faut alors vérifier avec un rapport moins évident. Par exemple avec une recette 300/1000 qui donne un rapport inverse non décimal (et vraiment rationnel) ou avec une recette plus simple di 800/1000 où l’inverse est un nombre décimal. Le concept di rapport dans des situations di proportionnalité ne se construit qu’à partir des catégories 8 et suivantes selon les données recueillies par le RMT. Par exemple le problème Les confitures (15.F.12) où l’on recherche les recettes équivalentes entre (8;5), (10;7), (16; 10) et (5; 3) obtient systématiquement la réponse (8;5) et (10;7) en raison di l’écart di 3 en catégories 5 et 6. On voir apparaître des réponses (8;5) et (16; 10) encore minoritaires en catégorie 7, plus fréquentes en catégorie 8 mais avec encore beaucoup d’échecs. Alors que dans le problème Mousse au chocolat (20.I.10) où l’on recherche lequel des trois couples (4;200), (6;250) et (10;500) ne correspond pas à la même recette que les deux autres. (les différence entre 4 et 200, 6 et 250 et 10 et 500 ne sont évidemment pas les mêmes et l’on perçoit immédiatement le « × 50 » entre 4 et 200 comme entre 10 et 500).
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