Banque de problèmes du RMT
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Calculer la durée d’une tâche à effectuer par $3$ animaux ensemble, connaissant le temps que chacun d’eux met pour effectuer seul la tâche ($3$ h, $4$ h et $6$ h).
Analyse de la tâche a priori
- Comprendre que le temps va diminuer si les trois animaux broutent ensemble et que chacun broutera une partie du gazon au même rythme (vitesse) que lorsqu’il est seul. Pour pouvoir comparer ces rythmes, il faut penser à une unité commune de temps. Par exemple, penser que si B met $6$ heures, en une heure elle broute un sixième du gazon, que F broute un quart du gazon par heure et H un tiers du gazon par heure. Puis faire appel à l’addition pour déterminer le rythme des trois animaux ensemble.
- Passer aux écritures puis aux opérations:
En «gazon à tondre par heure», les trois vitesses sont $1/6$, $1/4$ et $1/3$ et leur somme est $1/6 + 1/4 + 1/3 = 9/12 = 3/4$ et pour trouver le temps nécessaire pour tondre «le gazon» à raison de $3/4$ de «gazon à l’heure» il faut effectuer la division $1 \div 3/4 = 4/3$ en «heures».
Pour ceux qui ne maîtrisent pas l’addition des fractions ou qui ne perçoivent pas la division, une représentation graphique ou verbale peut aider à constater que si, en une heure on a fait trois parties de la tâche ($3/4$) et qu’il reste une partie ($1/4$) à effectuer, il suffira d’un tiers d’heure pour effectuer cette partie restante.
Algébriquement, en choisissant le temps nécessaire ($x$, en heures) comme inconnue, l’équation correspondante est $x/6 + x/4 + x/3 = 1$, dont la solution est $x = 12/9 = 4/3$ ou $1 + 1/3$ ou $1$h $20$ minutes
fraction, durée, transformation d’unité, proportionnalité, répartition proportionnelle
Points attribués sur 783 classes de 18 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 8 | 305 (60%) | 82 (16%) | 25 (5%) | 23 (5%) | 75 (15%) | 510 | 0.98 |
| Cat 9 | 64 (47%) | 16 (12%) | 13 (10%) | 6 (4%) | 36 (27%) | 135 | 1.51 |
| Cat 10 | 66 (48%) | 18 (13%) | 12 (9%) | 12 (9%) | 30 (22%) | 138 | 1.43 |
| Total | 435 (56%) | 116 (15%) | 50 (6%) | 41 (5%) | 141 (18%) | 783 | 1.15 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Les réponses correctes sont trouvées lorsque les élèves comprennent qu'il s'agit de déterminer les "vitesses" de chacun des trois animaux avec une unité commune de temps. C'est-à-dire trouver que la chèvre broute un sixième du gazon à l'heure, le mouton un quart et la vache un tiers et qu'il s'agit de les d'additionner pour trouver la "vitesse" avec laquelle broutent le gazon les trois animaux ensemble. Les opérations pour aboutir à cette vitesse en commun se font le plus souvent comme somme de fractions 1/6 + 1/4 + 1/3 = 9/12, parfois réduite à 3/4. Dans quelques cas, elles se font en pourcentages 16,666... + 0,25 + 33,333... = 75 % (les nombres avec développement périodique des décimales sont écrits souvent avec la première décimale surlignée).
figure
La détermination de la durée se présente sous de nombreuses formes (dans les copies de catégorie 8 examinées): constatation qu'en une heure les 3/4 du terrain sont broutés (ou 9/12, ou 75%) et qu'il reste 1/4 à brouter; puis constatation que ce quart restant est le tiers des trois quarts déjà broutés et par conséquent qu'il faut un tiers d'heure pour finire le travail. On n'observe jamais (dans ces copies) la procédure par division issue de la relation générale entre la quantité à brouter (B), la durée (t) et la "vitesse" (v): v = B/t ou B = vt ou t = B/v, comme on le ferait en physique.
On observe encore quelques variantes intéressantes, par exemple calcul du travail de chaque animal en quatre heures: Frisé 4/4 = 12/12; Blanchette 4/6 = 8/12 et Hortense 4/3 = 16/12, ensemble 36/12 = 4(12/12) et en une heure 4:4 = 1,333... et 4h : 3 = 1h20
Finalement on trouve des résolutions parfaitement claires entièrement par dessin ou partiellement comme dans cet exemple où l'addition des fractions est effectuée graphiquement. (Les correcteurs qui n'accordent pas de valeur à ce type d'explication n'attribuent en général que "3 points" qu lieu de "4 points" qu'elles mériteraient.
Les erreurs. Il y a tout d'abord les réponses 1h21 ou les calculs sont effectués avec des approximations décimales non maîtrisées des vitesses, comme 1,33 au lieu de 4/3.
On trouve ensuite les confusions à propos du "quart qui reste" après une heure de travail en commun, du genre: Il manque un quart, donc 15 minutes et les trois animaux ont mis 1heure et quart pour brouter tout le gazon.
Les obstacles. sont liés au concept d'unité commune de "vitesse" de chaque animal. Selon le tableau des résultats, 70% des groupes n'ont pas encore perçu le sens de cette unité composés "travail à effectuer / durée" comme d'ailleurs celle de vitesse au sens originel du terme "distance / durée". Ils ont vraisemblablement une idée intuitive de vitesse, mais qui n'est pas encore transcriptible en écriture mathématique: un rapport de deux nombres. La plupart de des erreurs dues à cet obstacle consiste à prendre la moyenne des trois durées 6h, 4h et 3h qui est 13/3 ou 4,33... Arrivés à ce résultat, les élèves le divisent par 3 parce qu'il x a trois animaux ou sans en donner la raison et obtiennent des réponses du genre 1h444...., ou situées entre 1h 24 et 1h27 selon leur maîtrise des calculs avec des nombre au développement décimal périodique.
D'innombrables autres erreurs témoignent d'une "incompréhension" du problème ou d'une "non appropriation" de la situation, dont toutes celles consistant à effectuer des calculs avec les nombres de l'énoncé.
(c) ARMT, 2021-2024