La récolte des noix

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Rallye: 31.F.02 ; catégories: 3, 4 ; domaines: PR, OPN
Familles:

• SP - Traiter des suites proportionnelles
• SP/RIP - Effectuer des répartitions proportionnelles

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Résumé

Déterminer trois nombres entiers dont la somme est égale à 108, tels que le deuxième et le troisième sont respectivement le double et le triple du premier.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Se représenter la répartition de 108 noix récoltées les trois jours selon les indications: nombre du premier jour encore indéterminé, son double et son triples pour les deuxième et troisième jour.

Une première procédure, pour des élèves de ces catégories 3 et 4, est de travailler par essais et ajustements sur le nombre du premie jour : choix d’une valeur, calcul du double, puis du triple, addition des trois valeurs, suivie d'une comparaison avec 108 et décision d’accepter le choix de la première valeur ou de le modifier en cas d’inégalité.

Une deuxième procédure, générique ou pré-algébrique, est parfois mise en oeuvre par des élèves de ces catégories lorsqu'ils sont capables de maintenir "indéterminé" le nombre de noix récolté le premier jour et de le considérer comme une "unité commune" pour exprimer les nombres du deuxième et du troisième jour, avec l'aide de représentations graphiques éventuellement. On arrive ainsi à 1 "nombre du premier jour", 2 "nombres du permier jour" le deuxième et 3 "nombres du premier jour" le troisième et au total de 6b "nombres du premier jour" correspondant à 108; permettant de calculer. par une division par 6, le "nombre du premier jour", 18 etc..

Une troisième procédure consiste à diviser 108 par 3 et de considérer le résultat, 36, comme le "nombre du deuxième jour". Cette procédure (assez fréquente) est suggérée par les trois nombres ou par l'idée que le nombre "moyen" est le tiers de la somme. Elle est correcte dans ce cas particulier de répartition de 6 parties de 1, 2 et 3 , car 2 est le tiers de 6, mais pas dans d'autres répartitions proportionnelles (comme par exemple dans le problème Oranges où la répartition est en 7 parties de 1, 2 et 4). S'il s'agit de déterminer un premier choix dans une recherche par essais successifs, cette procédure peut être valable à condition que la somme des trois nombres obtenus à partir de 36 : 18 + 36 + 54 = 108 soit vérifiée.

Notions mathématiques

nombre naturel, division, multiplication, addition, décomposition additive, proportionnalité, répartition proportionnelle

Résultats

30.I.02

Points attribués sur 122 classes de 15 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori:

• 4 points: Réponse correcte (il récolte 54 noix le troisième jour) avec une description claire de la procédure suivie (par essais, en montrant au moins deux tentatives en plus de celle correcte, ou bien par procédure pré algébrique avec des calculs)
• 3 points: Réponse correcte avec une description incomplète ou peu claire de la procédure avec un seul essai autre que celui correct
  ou pas de réponse mais explication du nombre de noix récoltées pendant chacun des trois jours, avec une procédure correcte
• 2 points: Réponse correcte sans description de la procédure mais avec vérification claire du nombre de noix récoltées les autres jours
  ou réponse fausse à cause d’une seule erreur de calcul, mais procédure correcte
• 1 point: Réponse correcte sans explication de la procédure ni vérification
  ou début de recherche cohérente
  ou réponse fausse due à plusieurs erreurs de calculs, mais avec un début de raisonnement correct
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

L'analyse a posteriori repose sur l'examen d'une vingtaine de copies de finalistes de catégorie 4.

Une moitié des procédures mises en oeuvre est celle des essais successifs organisés: un choix pour le premier jour, calcul des deux autres jours et de la somme. Si celle-ci est supérieure/inférieure à 108, le nouveau choix est inférieur/supérieur au précédent.

Le nombre des essais varie de 2 à 6.

Certaines copies ne montrent qu'un seul essai.

Exemple 1

Abbiamo provato 18 e abbiamo fatto 18 x 1 = 18, 18 x 2 = 36, 18 x 3 = 54, sommando 18 + 36 + 54 = 108

Traduction: On a essayé 18 ...

On ne peut pas savoir ici si le "18" a été trouvé "par chance", ou s'il a été précédé d'autres essais ne conduisant pas à la somme "108" que les élèves n'auraient pas jugé nécessaire de noter ou encore si ce "18" est le résultat de la division 108 : 6.

La procédure de division par 3 mentionnée dans la rubrique précédente "Tâche de résolution et savoirs mobilisés" est assez fréquente. Elle est hasardeuse et ne peut pas être acceptée sans indiquer que le nombre 36 n'est qu'un hypothèse pour un essai, suivi d'une vérification que la somme des trois jours est 108.

Exemple 2

Noi abbiamo letto attentamente il testo e abbiamo ricavato le informazioni principali. Visto che erano 3 i giorni che ha raccolto le noci, abbiamo pensato di fare 108 : 3 che fa 36. Poi prendendo il 36 l'abbiamo diviso per 2 perché se il secondo giorno prende il doppio delle noci dl primo deve essere la metà quindi 18. Poi se il terzo giorno prende il triplo del primo allora vuol dire che dobbiamo fare 18 x 3 che fa 54.

Quindi il primo giorno Pietro prende 18 noci, il secondo 36 e il terzo 54. Il terzo giorno Pietro raccoglie 54 noci.

On retrouve l'idée de la division par 3 dans l'exemple suivant, avec confusion totale des relations.

Exemple 3

Risposta : 1^agg : 6 noci - 2^agg : 12 noci - 3^agg : 36 noci

Il terzo giorno Pietro o ha raccolto 36 noci

Raggiornamento: Inanzitutto ho diviso 108 per i tre gg poi ho diviso il risultato perché doveva essere il triplo del 2^agg e poi ho diviso il risultato x 2 perché era il doppio del primo.

Exploitations didactiques

Selon le tableau des résultats, de classes finalistes, il y a un travail didactique important à conduire:

En phase de débat collectif, où les élèves expliquent leurs procédures et échangent leurs points de vue, les procédures par essais doivent apparaître, ainsi que leur degré d'efficacité: leur organisation progressive permettant à chaque pas de s'approcher de la solution.

Il faut en particulier relever que la division par 3 peut être acceptée comme choix d'un premier essai pour le nombre du deuxième jour, mais qu'elle nécessite une vérification.

On peut encourager les représentations graphiques qui permettent d'aboutir à une procédure générique ou pré-algébrique.

A propos des essais, un travail à conduire individuellement consiste à noter précisément tous les "essais", un par ligne, en ordre progressif, en quatre colonnes avec les nombres des trois jours et leur somme. Cette liste (ou tableau) doit faire prendre conscience à l'élève qu'il se situe dans une table de multiplication (par 1; 2; 3 et 6) et que le contexte du problème avec 108 noix permet d'obtenir une solution entière. (Si la somme n'était pas un multiple de 6, il faudrait "casser des noix"!)

Un ou deux autres problèmes de la famille SP - Traiter des suites proportionnelles doivent permettre de vérifier l'acquisition des connaissances construites dans un contexte proche de celui de La récolte des noix. Par exemple : Oranges (30.I.02), Les prunes (25.II.11), Les châtaignes de Charles (I)(22.II.02)