Banque de problèmes du RMT
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Adapter une recette dont les quantités initiales d'un ingrédient (6 oeufs) ont été modifiées (en 2 oeufs) en déterminant proportionnellement la quantité des autres ingrédients.
- Comprendre que la situation met en relation différentes quantités : nombre d'œufs et quantités de farine, sucre, beurre et lait et que la quantité respective d'ingrédients doit être "diminuée" selon les nombres d'oeufs qui passent de 6 à 2.
- Le savoir en jeu est caractéristique de la "proportionnalité": choisir la "nature" de la "diminution" entre les deux conceptions additive ou multiplicative qui sont en conflit chez des élèves de catégories 4 et 5 : une soustraction de 4 (6 - 2) ou une division par 3 (6 : 2) dans un contexte de recette culinaire.
- Le choix est facilité pour les élèves qui arrivent à se représenter que les variations entraînées sur les "grands" nombres en cas de soustraction de 4 comme 450 - 4 = 446 , 150 - 4 = 146 et 120 - 4 = 116 sont peu "importantes" par rapport aux variations entraînées par la division par 3 comme 450 : 3 = 150 , 150 : 3 = 50 et 120 : 3 = 40. Le choix de la division par 3 par rapport à la soustraction de 4 est encore renforcé par le cas des 3 dl de lait qui ferait intervenir un nombre négatif.
- Les doses avec lesquelles Lucie pourra réaliser un gâteau comme celui de sa grand-mère avec 2 œufs sont donc : 150 g de farine, 50 g de sucre, 40 g de beurre et un décilitre de lait.
nombre naturel, division, multiplication, soustraction, addition, proportionnalité, tiers
Points attribués sur 128 classes de 15 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 4 | 12 (18%) | 5 (7%) | 1 (1%) | 15 (22%) | 35 (51%) | 68 | 2.82 |
| Cat 5 | 4 (7%) | 2 (3%) | 1 (2%) | 13 (22%) | 40 (67%) | 60 | 3.38 |
| Total | 16 (13%) | 7 (5%) | 2 (2%) | 28 (22%) | 75 (59%) | 128 | 3.09 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
L'analyse a posteriori repose sur l'examen d'une vingtaine de copies de finalistes de catégorie 4.
Le tableau des résultats ci-dessus montre à l'évidence que dans ce contexte particulier avec des nombres dont l'ordre de grandeur est très différent : 6 oeufs et 3 dl de lait contre 450 g, 150g et 120 g pour les autres ingrédients, le passage de 6 à 2 pour les oeufs représente un changement relativement très différent que le passage de 450 à 446 si l'opération est une soustraction de 4. La division par 3 fait aussi passer de 6 à 2 (le tiers de 6) mais elle paraît plus adéquate pour le passage de 450 à 150 (le tiers de 450).
Les élèves justifient en général le choix de la division par 3:
Exemple 1: Abbiamo iniziato facendo 6 : 2 = 3 che il valore del dividende per gli altri ingredienti quindi dopo abbiamo diviso tutti gli ingredienti per 3. ( On a commencé par faire 6 : 2 = 3 qui est la valeur du dividende pour les autres ingrédients donc ensuite on a divisé tous les ingrédients par 3.
Exemple 2: Les quatre divisions par 3 450 : 3 = 150 grammi di farina ; 150 : 3 = 50 grammi di zucchero ; 120 : 3 = 40 grammi di burro ; 0,3 : 3 = 0,1 l di latte che servono
Exemple 3: Per adattare la ricetta della nonna bisogna dividere tutti : 3. Come ci siamo arrivati ? Abbiamo diviso le uova che servono per la torta con le uova che aveva Lucia 6 : 2 = 3 uova. Per adattare la ricetta della nonna servono: 3 uova, 150 grammi di farina, 50 grammi di zucchero, ...
Le nombre 3 est trouvé explicitement, comme dans l'exemple 1, mais il y a confusion entre les deux divisions 6 : 3 = 2 et 6 : 2 = 3 au moment de la réponse
Exemple 4: Abbiamo capito che bisognava dividere tutte le quantita per 3, perche 6 : 2 = 3.
Le nombre 3 est aussi trouvé explicitement. Mais est-il considéré comme le "rapport de proportionnalité" ou simplement comme la clé de ce cas particulier de recette?
Exemple 5: Inizialmente non avevamo capito il testo poi facendo una seconda lettura abbiamo provato a cercare un collegamento tra 6 e 2 et ci siamo accorti che 6 : 3 = 2. Quindi, dopo questo ragionamento, abbiamo diviso tutte le cifre dei grammi facendo queste operazioni: 450 : 3 = 150; ... 6 : 3 = 2; 3 ; 3 = 1. ... (Au départ on ne comprenait pas le texte puis en faisant une seconde lecture on a essayé de chercher un lien entre 6 et 2 et on s'est rendu compte que 6 : 3 = 2. Donc, après ce raisonnement, on a divisé tous les chiffres des grammes en faisant ces opérations : 450 : 3 = 150 ; ... 6 : 3 = 2 ; 3 ; 3 = 1. ...
La division 6 : 3 = 2 est une "vérification" que c'est bien par 3 qu'il faut diviser les autres nombres.
Exemple 6: La nostra risposta è che Lucia per adattare tutti gli ingredienti deve dividerli per 4, cioè le uova mancanti: 112,5 g di farina, 37,5 g di zucchero, 30 g di burro e 0,75 dl di latte. (Notre réponse est que pour adapter tous les ingrédients, Lucia doit les diviser par 4, c'est-à-dire les œufs manquants: 112,5 g de farine, 37,5 g de sucre, 30 g de beurre et 0,75 dl de lait.
Cette procédure mixte est intéressante: c'est la différence 4 = 6 - 2, conception additive de la transformation, qui est appliquée dans une conception multiplicative correcte d'une recette.
Exemple 7: Abbiamo visto che i numeri degli ingredienti erano tutti divisibili per tre. (Nous avons vu que les nombres des ingrédients étaient tous divisibles par 3.) suivie d'une réponse exacte et complète.
Cette reconnaissance de la divisibilité est due aux données particulières du contexte. Si l'on avait donné par exemple 400 grammes de farine le problème aurait aussi eu une solution!
Exemple 8: Avendo Lucia solo due uova invece che sei vuol dire che userà un terzo 1/3 delle uova e quindi di tutti gli altri ingredienti. Perciò divideremo tutto per 3 : 6 : 3 = 2 uova; 450 : 3 = 150 di farina ...
C'est l'exemple qui se rapproche le plus du concept de proportionnalité: un "rapport" (et non seulement un "diviseur") entre chaque couple de termes correspondants.
Exemple 9 :
6 oeufs : 6 oeufs = 1 oeuf, 1 x 2 = 2 oeufs
450 de farines : 6 = 75 g de farine , 75 x 2 = 150 g de farine
150 g de sucre : 6 = 25 g de sucre. 25 x 2 = 50 g de sucre
120 g de beurre : 6 = 20 g de beurre, 20 x 2 = 40 g de beurre
3 dl de lait . 6 = 0,5 dl de lait, 0,5 x 2 = 1 dl de lait
Cet exemple correspond au "passage par l'unité"
Ces exemples d'explications d'élèves de catégorie 4, participants aux finales régionales, sont majoritaires: les réponses sont correctes (ou cohérentes), la transformation est repérée sur le passage de 6 à 2 selon une conception multiplicative (divisive); c'est-à-dire que la diminution est le résultat d'une division par 3. On pourrait penser que ces élèves maîtrisent la proportionnalité mais on sait que en catégorie 5, 6 et encore 7, ces mêmes élèves traiteront d'autres problèmes de recettes selon une conception additive comme pour Gabrielle la petite sorcière (29.I.12, cat.6-8), Les confitures (15.F.12 cat. 6-8).
La division par 3 est ici reconnue par l'élève comme l'opération "locale" qui permet d'arriver aux réponses les plus vraisemblables dans le cas de ces données particulières bien agencées. Mais elle ne permet pas d'affirmer que le concept de proportionnalité est généralisable aux autres contextes de "recettes culinaires, en particulier à ceux où le "rapport de proportionnalité" n'est pas un nombre naturel comme 2, 3, 5 ou 10.
Dans le tableau des résultats, les "0 point" et "1 point" sont rares (de 20 à 25%) chez des classes finalistes. Ils correpondent à la conception additive: "diminuer de 4 (6 - 2) toutes les quantités des ingrédient, sans s'apercevoir de la contradiction pour les quantité de lait: 3 - 4 = 1) coke dans l'exemple suivant:
Exemple 10:
Ce type de procédure est "naturel" pour des élèves qui ne se représentent deux nombres différents que par la valeur absolue de leur "écart". L'un est "plus lourd", "plus haut", "plus long", "plus cher" ... que l'autre. Les nombres n'ont pas encore le niveau d'abstraction qui sera nécessaire pour les opérations arithmétiques autres que la réunion d'objets pour l'addition, le partage d'une quantité discrète en parts égales pour la division (opération invers de l'addition répétée), ...
Si le problème est envisagé comme une activité bien agencés pour que les élèves arrivent à la bonne réponse; il n'y a pas beaucoup d'intérêt à l'exploiter d'un point de vue didactique.
Ceux qui ont mis en oeuvre une procédure additive (soustraire 4) verront que l'enseignant ou leurs camarades de la procédure multiplicative (diviser par 3) ont une autre réponse. Pour les convaincre, il faudrait passer à la mise en pratique de la recette pour, très éventuellement, constater que le "goût" ou la "consistance" de la tarte est différente. Ils ne seront pas non plus convaincus par de belles explications du point de vue de l'adulte, ou de celui qui sait, ou d'une cuisinière experte parce qu'ils n'ont pas encore construit le concept de "rapport", qui se situe dans le travail de construction des nombres rationnels.
Il y a toutefois des scénarios possibles à proposer pour les inciter à accepter la division par 3 comme opération-clé, mais qui exigent des représentations graphiques précises des ingrédient ou même des manipulations effectives pour imaginer toutes les quantités de la recette complète réparties en trois parties (de 2 oeufs, 150 g de farine ...), que chaque élève est chargé de dessiner ou peser, ... .
Si l'on arrive à une représentation illustrée de la répartition, on peut alors reprendre le problème en modifiant le nombre d'oeufs de la recette, par exemple 5 oeufs au lieu de 6 pour susciter la partage intermédiaire en 5 parts égales pour tous les ingrédients (avec un oeuf chacune) et regrouper deux de ces cinq parts (avec 2 oeufs). Le modèle (éléphoné) de la division par 3 devra être ainsi remplacé par le passage par l'unité (exemple 8 précédent) consistant en une division par 5 puis une multiplication par 2. (La découveerte du rapport 2,5 n'étant tous pas accessible à une majorité d'élèves.) Cette dernière suggestion doit être illustrée par des représentations géométriques ou des répartitions effectives qui prennent du temps si l'on veut que chaque élève les réalise.
La proportionnalité étant dépendante de la construction des nombress rationnels, il faut absolument quitter l'ensemble des "nombres d'objets" ou des nombres naturels et passer aux nombres non entiers de la vie courante!