Banca di problemi del RMT
pr52-it
|
|
Banca di problemi del RMTpr52-it |
|
Envoyer une remarque ou une suggestion
Adattare una ricetta in cui le quantità iniziali di un ingrediente (6 uova) sono state modificate (in 2 uova) determinando proporzionalmente la quantità degli altri ingredienti.
- Comprendere che la situazione riguarda quantità diverse: numero di uova e quantità di farina, zucchero, burro e latte e che la rispettiva quantità di ingredienti deve essere "diminuita" in base al numero di uova che va da 6 a 2.
- La conoscenza in gioco è caratteristica della "proporzionalità": scegliere la "natura" della "riduzione" tra le due concezioni additive o moltiplicative che sono in conflitto tra gli studenti delle categorie 4 e 5: una sottrazione di 4 (6 - 2) o una divisione per 3 (6:2) nel contesto di una ricetta culinaria.
- Le savoir en jeu est caractéristique de la "proportionnalité": choisir la "nature" de la "diminution" entre les deux conceptions additive ou multiplicative qui sont en conflit chez des élèves de catégories 4 et 5 : une soustraction de 4 (6 - 2) ou une division par 3 (6 : 2) dans un contexte de recette culinaire.
- La scelta è facilitata per gli studenti che possono immaginare che le variazioni causate da numeri "grandi" nel caso di sottrazione di 4 come 450 - 4 = 446, 150 - 4 = 146 e 120 - 4 = 116 sono poco "importanti" " rispetto alle variazioni causate dalla divisione per 3 come 450: 3 = 150, 150: 3 = 50 e 120: 3 = 40. La scelta della divisione per 3 rispetto alla sottrazione di 4 è ulteriormente rafforzata dal caso di 3 dl di latte che comporterebbe un numero negativo.
- Le dosi con cui Lucia potrà fare una torta come quella della nonna con 2 uova sono quindi: 150 g di farina, 50 g di zucchero, 40 g di burro e un decilitro di latte.
numero naturale, divisione, moltiplicazione, sottrazione, addizione, proporzionalità, terzo
Punteggi attribuiti su 128 classi di 15 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 4 | 12 (18%) | 5 (7%) | 1 (1%) | 15 (22%) | 35 (51%) | 68 | 2.82 |
| Cat 5 | 4 (7%) | 2 (3%) | 1 (2%) | 13 (22%) | 40 (67%) | 60 | 3.38 |
| Totale | 16 (13%) | 7 (5%) | 2 (2%) | 28 (22%) | 75 (59%) | 128 | 3.09 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
L'analisi a posteriori si basa sull'esame di una ventina di elaborati dei finalisti della categoria 4.
La tabella dei risultati qui sopra lo dimostra chiaramente in questo particolare contesto con numeri il cui ordine di grandezza è molto diverso: 6 uova e 3 dl di latte contro 450 g, 150 g e 120 g per gli altri ingredienti, passando da 6 a 2 per le uova rappresenta un cambiamento relativamente molto diverso rispetto al passaggio da 450 a 446 se l'operazione è una sottrazione di 4. Anche dividendo per 3 si passa da 6 a 2 (un terzo di 6) ma sembra più appropriato per il passaggio da 450 a 150 (un terzo di 6) terzo di 450).
Gli allievi generalmente giustificano la scelta della divisione per 3:
Esempio 1: Abbiamo iniziato facendo 6 : 2 = 3 che il valore del dividende per gli altri ingredienti quindi dopo abbiamo diviso tutti gli ingredienti per 3.
Esempio 2: Le quattro divisioni per 3 450 : 3 = 150 grammi di farina ; 150 : 3 = 50 grammi di zucchero ; 120 : 3 = 40 grammi di burro ; 0,3 : 3 = 0,1 l di latte che servono.
Esempio 3: Per adattare la ricetta della nonna bisogna dividere tutti : 3. Come ci siamo arrivati ? Abbiamo diviso le uova che servono per la torta con le uova che aveva Lucia 6 : 2 = 3 uova. Per adattare la ricetta della nonna servono: 3 uova, 150 grammi di farina, 50 grammi di zucchero, ...
Il numero 3 si trova esplicitamente, come nell'esempio 1, ma c'è confusione tra le due divisioni 6: 3 = 2 e 6: 2 = 3 al momento della risposta.
Esempio 4: Abbiamo capito che bisognava dividere tutte le quantita per 3, perche 6 : 2 = 3.
Anche il numero 3 si trova esplicitamente. Ma è considerato il “rapporto di proporzionalità” o semplicemente la chiave di questo particolare caso di ricetta?
Esempio 5: Inizialmente non avevamo capito il testo poi facendo una seconda lettura abbiamo provato a cercare un collegamento tra 6 e 2 et ci siamo accorti che 6 : 3 = 2. Quindi, dopo questo ragionamento, abbiamo diviso tutte le cifre dei grammi facendo queste operazioni: 450 : 3 = 150; ... 6 : 3 = 2; 3 ; 3 = 1. ...
La divisione 6: 3 = 2 è una “verifica” che è proprio per 3 che dobbiamo dividere gli altri numeri.
Esempio 6: La nostra risposta è che Lucia per adattare tutti gli ingredienti deve dividerli per 4, cioè le uova mancanti: 112,5 g di farina, 37,5 g di zucchero, 30 g di burro e 0,75 dl di latte.
Interessante questo procedimento misto: è la differenza 4 = 6 - 2, secondo una concezione additiva della trasformazione, che viene applicata in una corretta concezione moltiplicativa di una ricetta.
Esempio 7: Abbiamo visto che i numeri degli ingredienti erano tutti divisibili per tre.
Questo riconoscimento della divisibilità è dovuto ai dati particolari del contesto. Se avessimo dato, ad esempio, 400 grammi di farina anche il problema avrebbe avuto soluzione!
Esempio 8: Avendo Lucia solo due uova invece che sei vuol dire che userà un terzo 1/3 delle uova e quindi di tutti gli altri ingredienti. Perciò divideremo tutto per 3 : 6 : 3 = 2 uova; 450 : 3 = 150 di farina ...
Questo è l'esempio che più si avvicina al concetto di proporzionalità: un “rapporto” (e non semplicemente un “divisore”) tra ciascuna coppia di termini corrispondenti.
Esempio 9 :
6 oeufs : 6 oeufs = 1 oeuf, 1 x 2 = 2 oeufs
450 de farines : 6 = 75 g de farine , 75 x 2 = 150 g de farine
150 g de sucre : 6 = 25 g de sucre. 25 x 2 = 50 g de sucre
120 g de beurre : 6 = 20 g de beurre, 20 x 2 = 40 g de beurre
3 dl de lait . 6 = 0,5 dl de lait, 0,5 x 2 = 1 dl de lait
Questo esempio corrisponde al “passare per l’unità”.
Questi esempi di spiegazioni da parte degli allievi di categoria 4, partecipanti alle finali regionali, sono la maggioranza: le risposte sono corrette (o coerenti), la trasformazione è individuata nel passaggio da 6 a 2 secondo un concetto moltiplicativo (divisivo); vale a dire che la riduzione è il risultato di una divisione per 3. Potremmo pensare che questi allievi abbiano padroneggiato la proporzionalità ma sappiamo che nelle categorie 5, 6 e ancora 7, questi stessi allievi affronteranno altri problemi di ricette secondo una procedura additiva come per Gabriela la piccola strega (29.I.12, cat.6-8), Le marmellate (15.F.12 cat. 6-8).
La divisione per 3 viene qui riconosciuta dall'allievo come l'operazione “locale” che permette di arrivare alle risposte più probabili nel caso di questi dati particolari e ben ordinati. Ma non consente di affermare che il concetto di proporzionalità sia generalizzabile ad altri contesti di “ricette culinarie, in particolare a quelli dove il “rapporto di proporzionalità” non è un numero naturale come 2, 3, 5 o 10.
Nella tabella dei risultati, “0 punti” e “1 punto” sono rari (dal 20 al 25%) tra le classi finaliste. Corrispondono al concetto additivo: "ridurre di 4 (6 - 2) tutte le quantità degli ingredienti, senza rendersi conto della contraddizione per le quantità di latte: 3 - 4 = 1) come nel seguente esempio:
Esempio 10:
{{img:31rmtf_fr-6a}}
Questo tipo di procedura è “naturale” per gli allievi che rappresentano due numeri diversi solo per il valore assoluto della loro “differenza”. Uno è "più pesante", "più alto", "più lungo", "più costoso"... dell'altro. I numeri non hanno ancora il livello di astrazione che sarà necessario per operazioni aritmetiche diverse dall'unione di oggetti per l'addizione, dalla condivisione di una quantità discreta in parti uguali per la divisione (operazione inversa dell'addizione ripetuta),...
Se il problema è visto come un'attività ben organizzata in modo che gli allievi arrivino alla risposta corretta; non c'è molto interesse a sfruttarlo dal punto di vista didattico.
Chi ha attuato una procedura additiva (sottrare 4) vedrà che l'insegnante o i suoi compagni della procedura moltiplicativa (dividere per 3) avranno una risposta diversa. Per convincerli bisognerebbe mettere in pratica la ricetta per notare, molto probabilmente, che il “gusto” o la “consistenza” della crostata è diverso. Né si lasceranno convincere da belle spiegazioni dal punto di vista di un adulto, o di chi sa, o di un cuoco esperto, perché non hanno ancora costruito il concetto di “rapporto”, che si trova nel lavoro di costruzione razionale numeri.
Ci sono però scenari possibili da proporre per invogliarli ad accettare la divisione per 3 come operazione chiave, ma che richiedono precise rappresentazioni grafiche degli ingredienti o addirittura manipolazioni efficaci per immaginare tutte le quantità della ricetta completa divisa in tre parti (. 2 uova, 150 g di farina, ecc.), che ogni studente è responsabile di disegnare o pesare, ecc.
Se arriviamo ad una rappresentazione illustrata della distribuzione, possiamo poi affrontare il problema modificando il numero di uova nella ricetta, ad esempio 5 uova invece di 6 per favorire la ripartizione intermedia in 5 parti uguali per tutti gli ingredienti (con una uovo ciascuno) e unire due di queste cinque parti (con 2 uova). Il modello (elefonato) della divisione per 3 deve quindi essere sostituito dal passaggio attraverso l'unità (esempio 8 sopra) consistente in una divisione per 5 poi una moltiplicazione per 2. (La scoperta del rapporto 2,5 non essendo tutti non accessibile alla maggioranza degli studenti.) Quest'ultimo suggerimento deve essere illustrato da rappresentazioni geometriche o distribuzioni effettive che richiedono tempo se vogliamo che ogni studente le realizzi.
Poiché la proporzionalità dipende dalla costruzione dei numeri razionali, è assolutamente necessario abbandonare l'insieme dei "numeri di oggetti" o numeri naturali e passare ai numeri non interi della vita quotidiana!