Ludo et Alice

Identification

Rallye: 31.I.11 ; catégories: 6, 7 ; domaines: PR, GM, FN
Familles:

• CPX - Traiter des unités de mesure complexes (vitesse, densité, ...)
• CPX/VIT - Déterminer ou tenir compte d'une vitesse
• SP - Traiter des suites proportionnelles

Remarque et suggestion

Résumé

Trouver le temps nécessaire pour une personne qui marche à 60 mètres par minute pour rattraper une autre personne qui marche à 40 m par minute et a 300 mètres d’avance.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Lire l’énoncé et imaginer les déplacements simultanés des deux personnages : Alice qui marche plus vite que Ludo, leur départ du même endroit et l’avance de Ludo qui a déjà parcouru 300 m au moment où Alice part.

Les procédures doivent tenir compte de la dynamique des positions respectives selon le déroulement du temps, en minutes.

- procédure progressive : de minute en minute à partir de 0 minute, avec, à chaque étape, le calcul de la distance parcourue par chacun et de la distance qui les sépare,

- procédure plus générale à partir de la différence entre 60 m et 40 m qui représente la réduction de 20 m par minute de la distance qui sépare les deux personnages et qui peut aboutir,

soit à une suite d’opérations 300 – 20 = 280 ; 280 – 20 = 260 ; … c’est-à-dire à une soustraction de 20 répétés 15 fois à partir de 300

ou à une addition de 15 termes « 20 » du genre 20 + 20 + 20 + ... = 300,

ou une multiplication 15 x 20 ou 29 x 15 = 300 ou encore à la division 300 : 20 = 15.

Les savoir mobilisés sont les quatre opération sur des nombres naturels, les suites ordonnées de nombres avec un écart constant, les multiples de 60 (pour la progression d’Alice)...

Notions mathématiques

rapport, vitesse, distance, temps, écart, différence

Résultats

31.I.11

Points attribués sur 2564 classes de 20 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte « 15 minutes » avec procédure explicitée (calculs complets avec vérification et formulation explicite de la réponse)
• 3 points: Réponse correcte, avec une procédure peu claire ou partiellement explicitée ou sans formulation explicite de la réponse
• 2 points: Réponse correcte sans procédure explicitée ni vérification
  ou réponse erronée due à une erreur de calcul mais avec une procédure correcte
• 1 point: Début de recherche cohérente (ex. quelques essais qui montrent la compréhension de la situation)
  ou réponse « 5 minutes » (temps mis par Alice pour parcourir 300 m) qui montre que la situation n’a été que partiellement comprise (les élèves n’ont pas pris en compte que Ludo continuait à avancer en même temps qu’Alice)
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Les premières analyses a posteriori confirment la difficulté du problème en catégorie 6 et 7 où plus de 60% n’arrivent pas à imaginer les déplacements et les deux progressions simultanées pour arriver à un écart nul entre ls deux personnages. (A l’origine la proposition de problème était prévue pour les catégories 4 et 5 au vu de la situation bien décrite pour que les élèves puissent se l’approprier.)

Il y a bien 25% à 30% de groupes qui trouvent 15 minutes : soit par la division de 300 par 20, soit par le déroulement explicite des déplacements minute par minute.

Ce sont les erreurs qui semblent les plus intéressantes:

- 5 minutes, comme résultat de la division 300 : 6 (temps mis par Alice pour parcourir 300 m)

- 7 minutes (à partir de 420 qui est le 7ème multiple de 60 qui est aussi un multiple de 40...)

- 13 minutes (à partir de 840 est le 13ème multiple de 60 qui est aussi un multiple de 40...)

en cours d'analyse, à compléter par le groupe CTCP

Exploitations didactiques

Les problèmes de mobiles qui se dépassent ou se croisent sont traditionnellement traités en liaison avec l'algèbre, à partir des catégories 8 ou 9 et sont réputés très difficiles, comme les problèmes de bassins qui se vident ou se remplissent ... L'obstacle est évidemment celui de l'unité de vitesse qui combine deux des unités "de base": celles de longueur et de durée.

Pour Ludo et Alice peut-on exploiter le problème à condition de l'envisager comme comparaison de deux progressions arithmétiques, en liaison avec des déplacements effectifs ou représentations graphiques ?

L'avis d'enseignants est nécessaire pour savoir si ce problème est exploitable en classe et comment. (Objet à traiter en priorité par le groupe GTCP.

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