Châteaux de sable

Identification

Rallye: 31.II.05 ; catégories: 3, 4, 5 ; domaines: PR, OPN
Familles:

• SP - Traiter des suites proportionnelles
• SP/RIP - Effectuer des répartitions proportionnelles

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Résumé

Comparer deux quantités : 7 grands récipients avec 10 récipients moyens et 8 petits récipients. Les rapports entre les récipients sont 1 grand vaut 2 moyens et 1 moyen vaut 3 petits..

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Appropriation

Percevoir les trois récipients : le grand seau d’Alessia (A), le petit seau de Paolo (P) et le pot de yoghourt (Y) et les relations entre les contenus : deux P pour A et trois Y pour P.

Comprendre que la question est de comparer les deux quantités de sable : 7 A avec 10P et 8Y

Résolution

Toutes les procédures de résolution reposent sur des échanges et nécessitent de trouver une unité commune de mesure.

- Avec le plus petit récipient (le pot de yoghourt Y) les échange sont P = 3Y puis A = 2P = 6Y. La comparaison se fait avec des nombres entiers 7A = 42P > 10P + 8Y = 30Y + 8Y = 38 Y.

- Avec le récipient moyen (le seau de P) les échanges font intervenir des « tiers de P » : Y = P/3 et A = 2P. La comparaison exige donc des fractions de P: 7A = 14P > 10P + 8Y = 12P + 2/3 P.

- Avec le grand récipient (le seau de A) les échanges font encore intervenir des « tiers de P » et aussi des « sixièmes de A » : Y = P/6 et P = A/2. La comparaison est : 7A > 10A/2 + 8A/6 = 5A + A + 2/6A = 6A + 1/3.

Comme les élèves ne connaissent ni les opérations sur les fractions ni les transformations, la seule procédure accessible est la première, en unité Y.

- Une procédure consiste à suivre les manipulations effectives de la « construction » des châteaux : Alessia va chercher ses 7 seaux qui correspondent à 14 seaux de Paolo. Puis Paolo va chercher ses 10 seaux et constate qu’il en manque 4 pour arriver à la quantité de sable d’Alessia, puis il prend 3 pots pour arriver à 11 seaux, trois autres pots pour arriver à 12 seaux et avec les deux pots il n’arrive pas à remplir le treizième seau. Par conséquent il utilise moins de sable que Alessia.

Notions mathématiques

mesure, unité, unité commune, échange, substitution,

Résultats

31.II.05

Points attribués sur 1519 classes de 18 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori:

• 4 points: Réponse correcte « C’est Alessia qui utilise le plus de sable » avec descriptions claires : récit chronologique, dessins et comptage, opérations, …
• 3 points: Réponse correcte avec description peu claire ou partielle
• 2 points: Réponse erronée (faute de calcul ou des règles d’échanges, avec description cohérente)
  ou réponse correcte avec les calculs seulement mais sans description des échanges
• 1 point: Réponse correcte sans description
  ou début de raisonnement montrant que le principe des échanges est compris mais sans arriver à la solution correcte
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Quelques commentaires à propos de l'attribution des points de la section de SI pour la catégorie 4

Erreur d’attribution des 8 pots

- Dessin des 7 A correspondant à 42 Y, + 8 Y pour arriver à 50 Y et division de 50 par 3 pour trouver 16 P et reste 2 Y avec réponse cohérente Paolo a utilisé 2 de ses seaux et 2 Y en plus.

Erreur, assez fréquente, de transformations de décimaux 12,2 au lieu de 12 et 2/3 ou 6,2 au lieu de 6 et 2/3

A ha usato più sabbia perché ha usato 7 dei suoi secchielli che equivalgono a 14 secchielli di P. Invece P ha usato 10 secchielli e 8 vasetti che equivalgono a 12,2 vasetti.

Erreur confusion seaux de A et de P

P ha usato più sabbia di Alessia 8 : 3 = 2,6 vasetti che riempiono il secchiello di Alessia au lieu de Paolo.

(Cat 4): (rappels de l’énoncé)

10 : 2 = 5 8 : 3 = 2 r2 5 + 2 r2 = 7 r 2.

abbiamo sommato i due risutati e ci è tornato 7 r2 che è quanta sabbia ha usato Paolo mentre Alessia na ha usata solo 7. Quindi ha usato più sabbia Paolo.

Aucune comparaison numérique

- Alessia ha usato più sabbia perché ha il secchiello più grande e lo riempi 7 volte

Addition de quantités différentes

- Paolo perché il suo secchiello è più piccolo di Alessia ma con il suo vasetto cha ha riempito 8 volte ha più sabbia

Choix d’une valeur de Y

- Siamo partiti facendo tentativi. All’inizio abbiamo dato come valore al vasetto di yogurt 15.

Moltiplicando il 15 per 3 volte abbiamo scoperto il valore del secchiello piccolo cioè 45.

Moltiplicando il 55 per 2 abbiamo scoperto il valore del secchiello grande cioè 90.

90 x 7 = 630 per Alessia 45 x 10 + 15 x 8 = 450 + 120 = 570 per Paolo. Quindi ha utilizzato più sabbia Alessia.

Unité commune Y

- On arrive à 42 (7 x 6) pour Alessia et 38 (10 x 3 + 8) pour Paolo

Unité commune A

- Alessia ha quindi 7 secchielli grandi e Paolo 5 secchielli grandi. Dato che 3 vasetti valgono un secchiello piccolo, quindi Paolo ha un altro secchiello grande più due vasetti in tutto 6 secchielli grandi più due vasetti. Quindi Alessia ha utilizzato più salvia.

Erreur de dessin avec confusion des rapports aire – côtés

- Dessin de 7 carrés 4 x 4 pour Alessia, 10 carrés 2 x 2 et 8 carrés 1 x 1 pour Paolo. abbiamo disegnato i secchi e vasetti scoprendo che ha utilizzato più sabbia Alessia perché Paolo non ha abbastanza sabbia per essere maggiore o uguale di quella di Alessia.

Justification partielle:

- Alessia ha usato più sabbia perché anche se ha usato 7 dei suoi secchielli e Paolo 10 secchielli e 8 vasetti, Alessia ha usato più sabbia perché per riempere un secchoiello di lei ci vuole 2 secchietti di Paolo.

- Alessia ha usato più sabbia … Operazioni 7 x 12 = 14 10 + 2 = 12

- Alessia ha usato più sabbia. Paolo ha usato 6 vasetti di Alessia e due vasetti di yogurt e Alessia 7 vasetti.

Un morceau de bravoure dans les échanges:

- Risposta: Hanno utilizzato la stessa quantità di sabbia.

Ragionamento Noi abbiamo ragionato cosi : Abbiamo disegnato i due secchielli. Quello di Alessia è più grande e quello di Paolo è più piccolo.

Poi abbiamo preso 2 numeri il 10 e l’ 8, cioè i numeri di quante volte Paolo riempieva il secchiello e la confezione di yogurt.

Poi abbiamo visto che Paolo aveva scoperto che con 3 vasetti di yogurt può riempiere il suo secchiello et che con due dei suoi secchielli può riempiere il secchiello di Alessia. Poi abbiamo ragionato che con l’8 che i 2 3 nell’8 ci sta 2 volte con il resto Quindi ha riempito 3 volte il vasetto di yogurt per riempire quello di Alessia a alla fine 7 e 7 volte.

Un dessin remarquable du passage par une unité commune (Y):