Banque de problèmes du RMT
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Parmi les trois couples (6 ; 190), (8 ; 250) et (9 ; 285 trouver celui qui n'est pas proportionnel aux deux autres, dans un contexte de recette de crème au chocolat.
Comme il s’agit d’un problème de recette culinaire, les deux ingrédients mentionnés doivent être proportionnels, c’est-à-dire que, par définition, les trois rapports doivent être égaux. Il s'agit d'un "savoir" nécessaire pour la résolution de ce problème.
La vérification se réduit au calcul des trois rapports :
Pour Céline : 190/6 = 95/3 le rapport est un nombre rationnel dont une approximation décimale est 31,67.
Pour Jeanne le rapport est 250/8 = 125/4 = 31,25
Pour Sophie le rapport est 285/9 = 95/3. C’est le même que celui de Céline.
En déduire que c’est Jeanne (8 ; 250) qui n’a pas utilisé la bonne quantité de chocolat.
Il y a d’autres procédures mettant en œuvre les propriétés (intuitives) de la proportionnalité. Par exemple, passer de 6 à 24 œufs par une multiplication par 4 et de 8 à 24 œufs par une multiplication par 3 et constater que 4 × 190 ≠ 3 × 250 .
multiplication, nombres naturels, rapport, proportionnalité
Résultats sur 3449 classes de 24 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 6 | 436 (34%) | 155 (12%) | 43 (3%) | 167 (13%) | 497 (38%) | 1298 | 2.1 |
| Cat 7 | 200 (16%) | 88 (7%) | 37 (3%) | 173 (14%) | 733 (60%) | 1231 | 2.94 |
| Cat 8 | 64 (7%) | 41 (4%) | 27 (3%) | 141 (15%) | 647 (70%) | 920 | 3.38 |
| Total | 700 (20%) | 284 (8%) | 107 (3%) | 481 (14%) | 1877 (54%) | 3449 | 2.74 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Le problème Crème au chocolat est construit sur la même structure que le problème Mousse au chocolat (cat. 5-7) avec modification des données : 6 / 190, 8 / 250 et 9 / 285 oeufs / grammes de chocolat au lieu de 4 / 200, 6 / 250 et 10 / 500 dans la version précédente. (Elle-même inspirée de Les confitures qui avait mis en évidence un conflit entre les écarts et les rapports pour déterminer une relation de proportionnalité.
L'intérêt de Crème au chocolat est de vérifier si les modifications des rapports représentent une augmentation de la difficulté. Le problème n'a plus été proposé en catégorie 5, 6 et 7 mais en catégories 6, 7 et 8 car les rapports ne peuvent plus se calculer mentalement (à l'aide du facteur commun facilitateur 500).
La réponse est évidente, pour les deux catégories comparables, le taux moyen de réussite, avec les mêmes critères d'attribution des points, passe de 2,97 à 2,10 en catégorie 6 et de 3,42 à 2,9 en catégorie 7.
Des problèmes précédents comme Gabrielle la petite sorcière (cat. 6-8) et Le confiseur confis (cat. 6-8) ont montré que le passage d'une conception additive, fondée sur les écarts entre les grandeurs en jeu, à une conception multiplicative, fondée sur les rapports, s'opère en général chez les élèves à partir de la catégorie 7. Dans Crème au chocolat le conflit "additif-multiplicatif" est atténué car les écarts entre les nombres d'oeufs (6, 8 et 9) sont minimes et n'incitent pas les élèves à les comparer avec ceux des nombres de grammes (190, 250 et 285) mais les "échecs" en catégorie 6 sont nombreux (près de 50%).
Les premières analyses a priori des copies sont en cours.