Le marmellate

Identificazione

Rally: 15.F.12 ; categorie: 6, 7, 8 ; ambito: PR
Famiglie:

• SP - Gestire successioni proporzionali
• SP/VER - Verificare delle corrispondenze

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Sunto

Trovare tra le quattro coppie di numeri (8;5), (10;7), (16;10) e (5;3) quelle che sono proporzionali nel contesto di una ricetta.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Observer les quatre couples donnés et chercher des propriétés communes permettant de reconnaître celui qui correspond au jour où le « goùt est le plus sucré » ou ceux correspondant à un « même goût ».

Établir des critères de choix : éliminer ceux qui ne tiennent compte que d’une des deux grandeurs (le sucre, par exemple) et retenir ceux qui tiennent compte simultanément des deux nombres du couple.

Le plus immédiat de ces critères est la différence : lundi 3, mardi 3, mercredi 6 et samedi 2 conduisant au « même goût » le lundi et le mardi (3 kg de différence) et à la plus sucrée le samedi (différence la plus petite).

Procéder à une validation de ce critère et penser que la définition de « goût sucré » doit se baser sur la quantité de sucre pour une même quantité de fruit ou de confiture ; imaginer alors que le critère pourrait reposer sur la masse du sucre pour 1 kg de fruit ou confiture.

Mobiliser la division ou le concept de quotient (rapport) des deux nombres de chaque couple, les calculer et les comparer ; ce qui oblige à passer à des nombres non entiers, exprimés sous forme décimale ou fractionnaire.

Par exemple en quantité de fruits pour un kg de sucre : lundi 8 : 5 = 8/5 = 1,6 ; mardi 10 : 7 = 10/7 = 1,42… ≈ 1,42; mercredi 16 :10 = 1,6 et samedi 5 :3 = 5/3 = 1,666… ≈ 1,67 conduisant au « même goût » le lundi et le mercredi (1,6) et à la plus sucrée le mardi (rapport le plus grand).

Se convaincre que ce dernier critère est adéquat et qu’il faut renoncer à l’autre.

Nozioni matematiche

proportionnalité, écarts et rapports, nombres décimaux, fractions

Risultati

15.F.12

Su 171 classi delle finale del 15RMT

Secondo i criteri dell'analisi a priori:

• 4 points: Risposte corrette e complete (martedì: marmellata più zuccherata, lunedì e giovedì egualmente zuccherata, con spiegazione chiara sulla base dei rapporti)
• 3 points: Risposte corrette e complete con spiegazione incompleta
• 2 points: Una delle risposte corrette, con spiegazione
  oppure le due risposte corrette senza spiegazione
• 1 point: Una delle risposte corretta, senza spiegazione
• 0 point: Procedure di confronto degli scarti o incomprensione del problema

Al termine della catergrie 6, per le classi finaliste (quindi altamente selezionate), osserviamo circa il 60% delle procedure tramite confronto delle differenze; ​​i "fraintendimenti del problema" o le schede vuote sono molto rari.

Questi risultati sono stati confermati da numerosi esperimenti in classe, dalla quinta all'ottava classe: solo dalla settima e ottava classe in poi, gradualmente, il criterio di selezione basato sui rapporti prevale su quello basato sulle differenze.

Vedi anche Per andare più lontano

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Le problème Les confitures est révélateur du conflit entre les écarts et les rapports pour déterminer une relation de proportionnalité.

A quelques exceptions près qui ne tiennent compte que de la quantité de sucre, il n’y a que deux procédures relevées :

• les écarts, très majoritaires aux degrés 5 et 6, du genre, c’est le lundi et le mardi que les confitures ont le même goût parce qu’il y a 3 kg de différence, c’est le jeudi qu’elle est la plus sucrée parce que la différence est la plus petite ou parce qu’il y a presque autant de sucre que de fruit
• les rapports, qui apparaissent dès le degré 7, soit sucre/fruit, sucre /confiture/ ou parfois fruit/sucre ou fruit/confiture en tenant compte que le plus petit rapport donne la confiture la plus sucrés. Les rapports sont donnés sous forme décimale dans la grande majorité des cas, avec une répétition de décimales lorsque le nombre n’est pas décimal.

Indicazioni didattiche

D’après nos expérimentations, il semble que les élèves de degré 5 et 6 (11-12 ans) rencontrent un obstacle qu’ils ne peuvent pas encore franchir à cet âge devant un problème de « recette » culinaire où ce sont les rapports des ingrédients qui déterminent le goût.

On pourrait certes les aider en leur « enseignant » le critère à prendre en compte dans ces situations, lorsque les programmes abordent la proportionnalité vers 10-11 ans. On justifierait alors la recette par des raisonnements du genre : « Lorsque, par exemple, on double une quantité, il faut aussi doubler l’autre ».

Mais il est évident que cette aide « extérieure » que tous les élèves ont déjà reçue aux degrés 4 à 6 n’est d’aucune efficacité à long terme, comme le montrent les résultats précédents et toutes les expérimentations.

Pour que le rapport s’impose face à l’écart, il faut des échanges, des confrontations au cours desquelles les élèves doivent conclure à l’inadéquation du modèle additif. Par exemple en faisant varier les deux quantités tout en conservant la différence de 3 kg, on doit pouvoir faire comprendre que pour les grands nombres (par exemple 1003 et 1000) on a « presque la même quantité de cerises que de sucre » contrairement au lundi (8 et 5) et au mardi 10 et 7). Mais la contradiction est plus évidente en allant vers les nombres plus petits : 7 et 4 ; 6 et 3 ; 5 et 2 ; 4 et 1 ; 3 et 0 !! 2 et ???.

Le rôle du maître est ici plus délicat, il « n’explique » pas mais il engage les élèves dans un chemin qui devrait aboutir à une impasse dont il faudra tirer les conséquences.

Per andare più lontano

Un plan d’expérimentation est prévu où, dans une première phase, on donne le problème sous sa forme actuelle et, dans une seconde phase un ou deux jours plus tard, on redonne le problème avec un cinquième jour de confitures où la grand.mère n’a que 2 kg de cerises et une question supplémentaire sur la quantité de sucre utiliser ce jours-là.

Ce plan est disponble sur le site de l’ARMT

Bibliografia

Jaquet. F. La proportionnalité dansles problèmes du RMT. In ACTES DES JOURNEES D’ETUDES SUR LE RMT, (Vol. 7, 11e rencontre : Bard 2007). RMT fra pratica e ricerca in didattica della matematica/RMT entre pratique et recherche en didactique des mathematiques (2008).pp 129-142. Bard (Valle d’Aosta). A cura di (Editeurs responsables): Lucia Grugnetti, François Jaquet, Gianna Bellò, Rossana Fassy, Graziella Telatin, M. Gabriella Rinaldi, Centro risorse per la Didattica della Matematica, sezione ARMT della Valle d’Aosta, ARMT. (Stamperia Regionale Valle d’Aosta, 240 p. 17 x 24,5 cm)