La main dans le sac

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Rallye: 16.II.15 ; catégories: 7, 8, 9, 10 ; domaine: PR
Famille:

• PROB - Traiter des probabilités

Remarque et suggestion

Résumé

Parmi deux récipients contenant chacun deux types d’objets (respectivement 6 et 10 pour le premier, 9 et 14 pour le second), choisir celui ou il faut tirer pour gagner un objet du premier type.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre qu’il faut choisir un des deux sacs (dont les contenus sont différents), qu’il faut espérer « tirer une boule rouge » dans le sac choisi, ce qui revient aussi à « ne pas tirer une boule blanche ».

- Comprendre qu’il ne faut pas simplement comparer les nombres de boules rouges (9 > 6) et choisir le sac B parce qu’elles y sont plus nombreuses ou les nombres boules blanches (14 > 10) et choisir le sac A car on risque moins d’en tirer une boule blanche (perdante). L’abandon de cette conception devrait s’appuyer, par exemple, sur la contradiction entre les deux démarches qui en découlent :

• « tirer une boule rouge dans le sac où il y en a le plus » conduit à choisir le sac B d’une part, et
• « tirer une blanche dans le sac où il y en a le moins » conduit à choisir le sac A d’autre part.

- Tenir compte simultanément des quatre nombres de boules donnés (car il ne suffit pas de considérer séparément les couples (6 ; 9) et pas (10 ; 14) ou l’inverse.)

Dans ce contexte, suivant les âges, les élèves se placent spontanément dans un cadre additif. On rencontre généralement deux démarches erronées :

1. Calculer les écarts entre les nombres de boules d’un même sac (4 boules blanches de plus que de rouges pour A et 5 pour B). Conclure alors au choix de A, « car dans B il y a plus de boules blanches en plus que dans A ».
2. Calculer les variations des nombres de boules d’une même couleur d’un sac à l’autre (+ 3 rouges et + 4 blanches de A à B). Conclure aussi au choix de A, « car de A à B, on ajoute plus de boules blanches que de rouges.

Dans ce cadre additif, la conclusion que le sac A est plus favorable peut sembler faire appel à une intuition probabiliste : en ajoutant plus de boules blanches que de rouges pour passer d’un sac à l’autre, on augmente le poids relatif des blanches et l’on a plus de « risques » de tirer une boule perdante. Mais ce raisonnement de nature pré probabiliste n’est décelable que si l’élève explique comment il aboutit à sa conclusion, ce qui n’est pas fréquent.

Ce raisonnement additif peut être invalidé en l’appliquant à d’autres exemples de sacs fictifs pour lesquels, par une approche intuitive, on peut estimer que les chances de gagner sont les mêmes.

Par exemple, dans un sac A’, « double sac A », contenant 12 rouges et 20 blanches, il y a autant de chances de gagner qu’avec A. Mais, selon la démarche 1, il y aurait 8 « boules blanches en plus que de rouges », alors que dans le sac B il y en a 5. On opterait alors pour le sac B plutôt que A’ ou que A, contrairement au choix précédent.

La conclusion que A est plus favorable, reposant dans la démarche 2 sur les variations des boules de même couleur avec le sac B (+ 3 rouges dans B et + 4 blanches) et faisant également apparaître une augmentation supérieure des blanches par rapport aux rouges, est à rejeter comme précédemment.

- Se placer dans un cadre multiplicatif ou de proportionnalité et comprendre qu’il faut considérer les quantités relatives des boules rouges par rapport aux blanches ou par rapport à l’ensemble des boules contenues dans chacun des sacs.

- Choisir le sac qui donne une meilleure « chance » de gagner, c’est-à-dire, dans une appréhension probabiliste, choisir celui qui contient la plus forte proportion de boules rouges.

- Deux types de rapports peuvent être considérés pour comparer les deux sacs :

• Soit, pour chacun des sacs, le rapport du nombre des boules rouges à celui des blanches : 6/10 dans A et 9/14 dans B. Pour les comparer, on peut les exprimer en décimaux : 0,6 pour A et 0,643 pour B, ou par fractions équivalentes : 42/70 pour A et 45/70 pour B ou en pourcentages : 60 % pour A et 64,3 % pour B. D’où le choix de B.
• Soit, pour chaque sac, le rapport du nombre des boules rouges parmi toutes (probabilité de tirer une boule rouge) : 6/16 = 0,375 = 138/368 = 37,5 % pour A et 9/23 = 0,391 = 144/368 = 39,1 % pour B.

D’où encore le choix de B.

- Exprimer la réponse sans confondre une réponse probabiliste du genre « nombre de chances sur ... de tirer une boule rouge » avec une réponse se référant aux rapport rouges/blanches. Par exemple, il est correct de dire « ... car on a 37,5 chances sur 100 de tirer une boule rouge dans A et 39,1 chances sur 100 dans B », mais il n’est pas correct de dire « 60 chances sur 100 dans A et 64,3 chances sur 100 dans B ».

Notons que l’usage du mot « chance » est source d’ambiguïtés. Il n’a pas le même sens dans « avoir plus de chance de tirer une boule rouge dans B que dans A » qui est une évaluation qualitative, et dans « j’ai 6 chances sur 16 de tirer une boule rouge dans A » qui est une appréciation quantitative de la probabilité dans laquelle les « chances » sont assimilées aux boules gagnantes, ce qui peut être source de confusions quand on énonce : « j’ai 37,5 chances sur 100 de tirer une boule rouge de A ».

Notions mathématiques

probabilité, rapport, proportionnalité

Résultats

16.II.15

Points attribués sur 74 classes de Suisse romande:

Selon les critères de l'analyse a priori:

• 4 points: Solution juste (le sac B) avec explications du lien entre les rapports calculés et les « chances de gagner » exprimées correctement
• 3 points: Solution juste (le sac B) avec comparaisons entre des rapports cohérents et explications en termes de proportionnalités, mais sans parler des « chances de gagner » ou avec confusion entre probabilités et rapports inadéquats
• 2 points: Solution juste (le sac B), avec calculs de rapports (relations multiplicatives), avec explications confuses et incomplètes.
• 1 point: Solution juste (le sac B) ou fausse (le sac A), reposant sur une comparaison des différences des nombres de boules au sein d’un sac ou des écarts entre un sac et l’autre (relations additives), avec cependant une explication de type probabiliste (on a plus de chances de ... car il y a plus de ...)
  ou solution erronée (le sac A) avec prise en compte de rapports (relations multiplicatives) mais due à une erreur de calcul
• 0 point: Solution juste ou fausse ne prenant en compte que la comparaison des nombres d’un seul type de boules
  ou incompréhension du problème.

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