Les blasons (II)

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Rallye: 17.F.08 ; catégories: 5, 6 ; domaine: LR
Familles:

• CO - Chercher des arrangements ou des combinaisons
• CO/DEN - Dénombrer des combinaisons ou des arrangements
• TOP - Gérer une situation topologique

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Résumé

Déterminer le nombre de façons de colorier les parties d'un grand rectangle divisé en quatre petits rectangles à l'aide de trois couleurs de telle manière que sur chaque grand rectangle figure les 3 couleurs et que les petits rectangles qui ont un côté en commun doivent être de couleurs différentes.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre toutes les contraintes (pas de rectangle non colorié, trois couleurs à disposition qui doivent figurer sur chaque blason, une par rectangle, contiguïté, coloriages différents).

- Comprendre que si les 3 couleurs doivent être utilisées sur chaque blason, l’une apparaîtra 2 fois puisqu’il y a 4 rectangles à colorer. Les deux rectangles de cette couleur (n’ayant pas de côté commun) n’auront qu’un sommet commun et se situeront sur l’une des deux diagonales du blason.

Comme il y a 3 couleurs, cela donne 2 x 3 possibilités de placer la couleur utilisée 2 fois.

Pour chacune de ces 6 possibilités, il y a ensuite 2 façons de placer les 2 autres couleurs, ce qui fait un total de 2 x 3 x 2 = 12 possibilités.

- Dessiner tous les blasons possibles.

et donner la réponse : il n’est pas possible d’avoir 20 blasons différents pour les 20 classes, mais seulement 12.

Ou: Procéder de façon aléatoire, avec le risque d’oublier des blasons.

Ou: Utiliser un raisonnement qui correspond à l’arbre suivant :

Donc, au total, 12 blasons (3 × 2 × 2 × 1 = 12).

Notions mathématiques

combinatoire

Résultats

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