Banque de problèmes du RMT
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Décomposer 149 en une somme de 22 termes chaque terme valant 5 ou 8.
- Traduire la situation dans le cadre numérique : décomposer 149 en une somme de 22 termes 8 ou 5, ou décomposer 149 en une somme de deux termes dont l’un est un produit de 8 par un nombre (de chambres à 8 lits) et l’autre est un produit de 5 par un autre nombre (de chambres à 5 lits), tels que la somme des deux nombres de chambres est 22.
- On peut constater par exemple, par estimation, que si toutes les chambres étaient à 8 lits, il y aurait trop de places (car 8 × 22 = 176 > 149) ou qu’il en manquerait si toutes les chambres étaient à 5 lits (car 5 × 22 = 110 < 149) et s’engager alors dans une résolution proche de la méthode de « fausse position » : par exemple, il manque 39 places (149 – 110) dans l’hypothèse des chambres à 5 lits ; chaque fois qu’on remplace une chambre à 5 lits par une chambre à 8 lits on gagne 3 places ; il faudrait remplacer 13 (39 : (procédures effectivement relevées dans tous les anciens problèmes du RMT reposant sur un système de deux équations linéaires à deux variable dont les solutions sont des couples de nombres naturels)
- Traduire la situation dans le cadre numérique : décomposer 149 en une somme de 22 termes 8 ou 5, ou décomposer 149 en une somme de deux termes dont l’un est un produit de 8 par un nombre (de chambres à 8 lits) et l’autre est un produit de 5 par un autre nombre (de chambres à 5 lits), tels que la somme des deux nombres de chambres est 22.
- On peut constater par exemple, par estimation, que si toutes les chambres étaient à 8 lits, il y aurait trop de places (car 8 × 22 = 176 > 149) ou qu’il en manquerait si toutes les chambres étaient à 5 lits (car 5 × 22 = 110 < 149) et s’engager alors dans une résolution proche de la méthode de « fausse position » : par exemple, il manque 39 places (149 – 110) dans l’hypothèses des chambres à 5 lits ; chaque fois qu’on remplace une chambre à 5 lits par une chambre à 8 lits on gagne 3 places ; il faudrait remplacer 13 (39 : 3) chambres à 5 lits par des chambres à 8 lits pour arriver à 149 places ; il resterait alors 9 (22 – 13) chambres à 5 lits (Le même raisonnement est valable à partir de l’hypothèse des chambres à 8 lits : (176 – 149 = 27 places en trop ; 27 : 3 = 9 chambres à 8 lits à remplacer par des chambres à 5 lits, 22 – 9 = 13 chambres à 8 lits).
Ou : essayer avec une répartition arbitraire des chambres, (souvent en nombres égaux). Par exemple, s’il y avait 11 chambres de chaque type, il y aurait (11 × 5) + (11 × 8) = 143 places et il en manquerait 6 (149 - 143). Il suffirait alors de remplacer deux chambres à 5 lits par 2 chambres à 8 lits et on arriverait à une répartition de 13 chambres à 8 lits et 9 chambres à 5 lits.
Ou, à l’aide d’un tableau ou d’une disposition en lignes et colonnes, dresser l’inventaire de toutes les possibilités :
Ou : faire un tableau à partir de la décomposition de 149 en multiples de 5 et de 8 :
La solution 8 dortoirs à 8 lits, 17 dortoirs à 5 lits n’est pas à retenir, car elle correspondrait à 25 dortoirs ; la solution 18 dortoirs à 8 lits,1 dortoirs à 5 lits non plus, car elle correspondrait à 19 dortoirs.
La solution 13 dortoirs à 8 lits, 9 dortoirs à 5 lits est la seule qui convient, car 13 + 9 = 22 !
- Ce problème peut évidemment se résoudre par une mise en équation (selon le degré scolaire et les programmes nationaux).
Si, par exemple, x représente le nombre de dortoirs à 8 lits, on doit résoudre l’équation : 8x + 5(22 – x) = 149.
La solution x = 13 conduit à la même conclusion que ci-dessus.
addition, multiplication, multiple, équation
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